Question

Sabe-se que em uma PG crescente, a3 = 10 e a11 = 810, então determine a razão e o termo a16 dessa PG.

Answer 1

Pg.( a1, a2, 10, 810, ..., a16)

•Para achar a razão:
810= 10. R
R= 81

•para achar o termo A16:
Fórmula ( A16 = a1 . R^ n-1)
*precisaremos do termo a1:
10/81= a2 e 10/81^2= a1 , basta fazer o mesmo processo de achar a razão.

Portanto, a16= 10/81^2 . 81^16-1
(Cortar) a16= 10 . 81^ 15/ 81^2
a16= 10 . 81^ 13

Answer 2

Vamos lá.

Veja,Giovanna, que a resolução é simples embora um pouco trabalhosa.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Sabe-se que numa PG crescente, temos que:

a₃ = 10
e
a₁₁ = 810.

Dadas essas informações, é pedida  a razão (q) dessa PG bem como o valor do 16º termo (a₁₆).

ii) Veja que poderemos encontrar a razão (q) e a primeiro termo (a₁) pela fórmula do termo geral de uma PG, que é dada assim:

an = a₁*qⁿ⁻¹  ---- note que, com base nesta fórmula, então no caso dos termos "a₃" e do "a₁₁", teremos isto:

a₃ = a₁*q³⁻¹
a₃ = a₁*q²      . (I)

e

a₁₁ = a₁*q¹¹⁻¹
a₁₁ = a₁*q¹⁰    . (II)

ii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II) acima e que são estas:

a₁*q² = a₃     . (I)
e
a₁*q¹⁰ = a₁₁    . (II)

Mas como já vimos que a₃ = 10 e a₁₁ = 810, então vamos substituir, com o que ficaremos com:

a₁*q² = 10          . (I)
a₁*q¹⁰ = 810      . (II)

iii) Então vamos fazer o seguinte: vamos dividir, membro a membro, a expressão (II) pela expressão (I). Com isso, ficaremos assim:

a₁*q¹⁰ = 810
a₁*q² = 10
------------------------ dividindo membro a membro, vamos ficar com:

a₁q¹⁰ / a₁q² = 810/10 ---- desenvolvendo, ficaremos com:
q¹⁰/q² = 81 --- note que no 1º membro temos uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo:

q¹⁰⁻² = 81
q⁸ = 81
q = ⁸√(81) --- note que 81 = 3⁴ . Assim, ficaremos com:
q = ⁸√(3⁴) ---- dividindo-se o índice do radical por "4", bem como o expoente do radicando também por 4, iremos ficar com:

q = √(3) <--- Esta é a razão da PG da sua questão (note que raiz quadrada tem índice "2", apenas não se coloca)

iv) Agora vamos substituir o valor de "q" acima encontrado em uma das expressões dadas para encontrar qual é o valor do primeiro termo.
Vamos na expressão (I), que é esta:

a₁*q² = 10 ---- substituindo-se "q" por √(3), teremos:
a₁*[√(3²)] = 10 ----- ou, o que é a mesma coisa:
a₁*√(9) = 10 ---- como √(9) = 3, teremos;
a₁*3 = 10
a₁ = 10/3 <--- Este é o valor do primeiro termo (a₁).

v) Agora vamos encontrar qual é 16º termo (a₁₆). Como já vimos como é que se calcula qualquer termo de uma PG (vide a fórmula do termo geral), teremos que:

a₁₆ = a₁*q¹⁶⁻¹
a₁₆ = a₁*q¹⁵ ---- substituindo-se "a₁" e "q" por seus valores que já vimos quais são, teremos (a₁ = 10/3 e q = √(3)):

a₁₆ = (10/3)*[√(3)]¹⁵) ----- desenvolvendo, teremos:
a₁₆ = (10/3)*√(3¹⁵) ---- veja que 3¹⁵ = 3².3².3².3².3².3².3².3¹. Assim, teremos:
a₁₆ = (10/3)*√(3².3².3².3².3².3².3².3)  --- veja que os "3" que estão elevados ao quadrado sairão de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos:

a₁₆ = (10/3)*3*3*3*3*3*3*3√(3) ---- desenvolvendo, teremos que:
a₁₆ = (10/3)*2.187√(3) ---- note que isto é a mesma coisa que:
a₁₆ = 10*2.187√(3) / 3 ---- simplificando-se tudo por "3", iremos ficar apenas com:

a₁₆ = 10*729√(3) ---- como 10*729 = 7.290, teremos:
a₁₆ = 7.290√(3) <--- Este é o valor do 16º termo (a₁₆)

v) Assim, resumindo, temos que a razão e o 16º termos da PG da sua questão são, respectivamente:

√(3) e 7.290√(3)  <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.