Question

Roberto e Silvia são amigos desde criança. Hoje, mesmo não morando muito perto um do outro, procuram conservar essa amizade, encontrando-sepa ir a escola. Para ter uma ideia, veja no esboço seguinte a cada de Roberto, que está no ponto R, e a de silvia, no ponto S. No ponto E fica a escola no qual ambos estudam. Os pontos R, S e E são vértices de um triângulo retângulo em que R e o vértice do ângulo reto . A distância da casa de Roberto a casa de silvia e 500m, e a distância da casa de silvia a escola e de 1300 m. Eles se encontram na avenida SE no ponto De, que e menor caminho da casa de Roberto a essa avenida.

a) aproximadamente a quantos metros da casa de Silvia os dois amigos se encontram?

B) Quantos metros, aproximadamente, eles percorrem juntos

Answer 1

O objetivo é encontrar a distância SD.

Se o triângulo RSE é retângulo, então é possível primeiramente encontrar a distância RE através do Teorema de Pitágoras:

$\overline{SE}^2 = \overline{RE}^2 + \overline{SR}^2$

$1300^2 = \overline{RE}^2 + 500^2$

$\overline{RE}^2 = 1300^2 - 500^2$

$\overline{RE}^2 = 1690000 - 250000$

$\overline{RE}^2 = 1440000$

$\overline{RE} = \pm \sqrt{1440000}$

$\overline{RE} = \pm 1200$

Como é distância, utiliza-se somente o valor positivo.

Agora, conhecendo ambos os catetos do triângulo retângulo, é possível descobrir o comprimento do segmento $\overline{RD}$. Como? Note que o triângulo RDE é retângulo também, então pode-se dizer que $\overline{RD}$ é a altura relativa da hipotenusa do triângulo RSE.

Existe um teorema que diz que:

$\text{hipotenusa} \cdot \text{altura relativa da hipotenusa} = \text{cateto}_1 \cdot \text{cateto}_2$

Ou seja:

$\overline{SE} \cdot \overline{RD} = \overline{SR} \cdot \overline{RE}$

$1300 \cdot \overline{RD} = 500 \cdot 1200$

$\overline{RD} = \dfrac{500 \cdot 1200}{1300}$

$\overline{RD} \approx 461,54 \text{ m }$

Agora conhecemos também um dos catetos e o valor da hipotenusa do triângulo RDE. Só nos resta calcular o outro cateto através do Teorema de Pitágoras:

$\overline{RE}^2 = \overline{RD}^2 + \overline{DE}^2$

$1200^2 = 461,54^2 + \overline{DE}^2$

$\overline{DE}^2 = 1200^2 - 461,54^2$

$\overline{DE}^2 = 1440000 - 213019,1716$

$\overline{DE}^2 = 1226980,8284$

$\overline{DE} = \pm \sqrt{1226980,8284}$

$\overline{DE} \approx \pm 1107,7 \text{ m }$

A resposta para o item B é 1107,7 m.

Agora, o segmento $\overline{SD}$ mede:

$\overline{SD} = \overline{SE} - \overline{DE}$

$\overline{SD} = 1300 - 1107,7$

$\boxed{\overline{SD} = 192,3 \text{ m }}$