Resolva a inequação |x-4| ≤ |3x-2|.
Soluções para a tarefa
S = {x ∈ R/ x ≤ -1 ou x ≥ 3/2 }
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
|x - 4| = x - 4, se x - 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4
|x - 4| = -x + 4, se x - 4 < 0 ⇒ x < 4
|x - 4| - |3x -2| ≤ 0
|3x - 2| = 3x - 2, se 3x - 2 ≥ 0 ⇒ 3x ≥ 2 ⇒ x ≥ 2/3
|3x -2| = -3x - 2, se 3x - 2 < 0 ⇒ 3x < 2 ⇒ x < 2/3
Quadro de sinais
2/3 4
__________________________________________________
|x-4| -x+4 -x+4 -x+4 x+4 x+4
__________________________________________________
|3x-2| -3x+2 3x-2 3x-2 3x-2 3x-2
__________________________________________________
|x-4|-|3x-2| 2x + 2 -4x +6 -4x+6 -2x-2 -2x-2 _________________________________________________
1) |x-4|-|3x-2| = 2x + 2, se x < 2/3
2) |x-4|-|3x-2| = -4x + 6 , se 2/3 ≤ x < 4
3) |x-4|-|3x-2| = -2x -2, x ≥ 4
I) Se x < 2/3
2x + 2 ≤ 0 ⇒ 2x ≤ -2 ⇒ x ≤ -1
_______________________________________2/3
__________________________-1-----------------------∩
__________________________-1-------------------------
x ≤ -1
II) Se 2/3 ≤ x < 4
-4x + 6 ≤ 0 ⇒ -4x ≤ -6 ⇒ 4x ≥ 6 ⇒ x ≥ 3/2
2/3_________________________4--------------- ∩
-----------------------------3/2___________________
3/2___________4
3/2 ≤ x < 4
III) Se x ≥ 4
-2x - 2 ≤ 0 ⇒ -2x ≤ 2 ⇒ 2x ≥ -2 ⇒ x ≥ -1
-1 ______________________
4_____________ ∩
4_____________
x ≥ 4
S = S(I) ∪ S(II) ∪ S(III)
________-1-------------------------------------------------------------------
-----------------------------------3/2________4---------------------------
--------------------------------------------------------4______________ ________-1--------------------3/2_______________________
S = {x ∈ R/x ≤ - 1 ou x ≥ 3/2 }