Question

Responda pelo método de integração por partes:

∫Cos²x dx

Se possível detalhar todas as etapas.

Answer 1

cos² (x) + sen²(x) = 1
sen² (x) = 1 - cos²(x) [ Resultado 1]

cos (2x) = cos²(x) - sen²(x)
cos(2x) = cos²(x) - (1 - cos²(x))
cos(2x) = cos²(x) - 1 + cos²(x)
cos(2x) = 1 + 2cos²(x)
cos²(x) = (1 + cos(2x)) / 2 [ Resultado 2]

Substituindo o resultado 2 na integral:

∫ cos² (x) = ∫ (1 + cos(2x))/2

 ∫ (1 + cos(2x))/2 =  

= ∫ 1/2 +  ∫ cos(2x)/2 =

= x/2 + sen(2x)/4 + C

Answer 2

Por partes: vamos lá:

∫cos²xdx  = ∫cosx*cosxdx

fazendo cosx = u e cosx = dv 


$\\ u = cosx \\ \frac{du}{dx} =-sen(x) \\ du = -sen(x)dx$


$dv = cosxdx$

∫$dv =$ ∫$cosxdx$

$v = Sen(x)$

Então:

∫cos²xdx = uv - ∫vdu

∫cos²xdx = cosx*Sen(x) -∫sen(x)*-sen(x)dx

∫cos²xdx = cosx*Senx + ∫Senx*senxdx



∫cos²xdx = cosx*senx + ∫Sen²xdx


Lembrando da relação trigonométrica:

Sen²x + Cos²x = 1

Podemos isolar Sen²:

Sen²x = 1 - Cos²x

Então a integral fica:

∫cos²xdx = cosx*senx +∫1-cos²xdx

Separando em duas integrais:

∫cos²xdx = senx*cosx +∫1dx - ∫cos²xdx

Passando a integral do cosx para outro lado com sinal positivo fica:

∫cos²xdx + ∫cos²xdx = Senx*cosx + ∫dx

2∫cos²xdx = senx*cosx + x

Dividindo ambos lado da equação por 2 fica:

∫cos²xdx = $\frac{sen(x)*cos(x)}{2} + \frac{x}{2}$



Assim ja estaria certo a resposta, MAS LEMBRANDO DA RELAÃO TRIGONOMÉTRICA:

Sen(2a) = 2*senx*cosx


$\frac{Sen(2z)}{2} =Sen(x)*Cos(x)$



Então fica:

∫Cos²xdx = $\\ \frac{1}{2} *sen(x)*Cos(x)+ \frac{x}{2}$


∫cos²xdx = $\frac{1}{2}* \frac{Sen(2x)}{2} + \frac{x}{2}$

∫cos²xdx  = $\frac{Sen(2x)}{4} + \frac{x}{2} +K$