Question

Resolver por integração trigonométrica: Integral de dx/$\sqrt(3 x^{2} +2)$

Answer 1

Olá Renata!

$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{3x^2+2}} \\ \\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{2+3x^2}} \, dx \\ \\ \\ \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}+x^2}} \, dx \\ \\ \\ \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\bigg(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \bigg)^2+x^2}} \, dx$

Com isso, podemos fazer a seguinte substuição trigonométrica:

$\displaystyle x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \tan \theta \\ \\ \\ dx = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sec^2 \theta \, \, d \theta$

Voltando pro início:

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{2+3x^2}} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{ 2+3 \cdot \bigg( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \tan \theta \bigg)^2 }} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sec^2 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{2+3 \cdot \bigg( \displaystyle \frac{2}{3} \tan^2 \theta \bigg) }} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta$

Continuando em outra linha:

$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{2+2 \tan^2 \theta}} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{2 \cdot (1+ \tan^2 \theta)}} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta$

De acordo com a identidade:

$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \\ \\ -1-\tan^2 \theta = - \sec^2 \theta \\ \\ 1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$

Temos:

$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \sec^2 \theta }} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sec \theta} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \int \frac{\sec^2 \theta}{\sec \theta} \, d \theta \\ \\ \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \int \sec \theta \, d \theta$

Eu poderia demonstrar o cálculo da integral de sec θ, mas demandaria tempo e daria uma conta enorme pq teríamos que fazer por frações parciais. Com isso, continuando:

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \ln \bigg| \tan \theta + \sec \theta \bigg| + C$

De acordo com a premissa:

$\displaystyle x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \tan \theta \\ \\ \\ \tan \theta = \frac{\sqrt{3} \, x}{\sqrt{2}}$

Comparando as duas fórmulas seguintes e imaginando um triângulo:

$\displaystyle \tan \theta = \frac{\sqrt{3} \, x}{\sqrt{2}} \\ \\ \\ \tan \theta = \frac{\mathsf{cateto \, \, oposto}}{\mathsf{cateto \, \, adjacente}}$

Esse triângulo terá o cateto oposto igual a √3x e o cateto adjacente igual a √2

Aplicando Pitágoras para encontrarmos o valor da hipotenusa, teremos a seguinte equação:

$\displaystyle h^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3} \, x)^2 \\ \\ h = \sqrt{2+3x^2}$

Com o valor do cateto adjacente, oposto e da hipotenusa nas mãos, podemos comparar a seguinte fórmula:

$\displaystyle \sec \theta = \frac{\mathsf{hipotenusa}}{\mathsf{cateto \, \, adjacente}} \\ \\ \\ \sec \theta = \frac{\sqrt{2+3x^2}}{\sqrt{2}}$

Portanto, o resultado final da nossa integral é:

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \ln \bigg| \tan \theta + \sec \theta \bigg| + C \\ \\ \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \ln \bigg| \frac{\sqrt{3}\, x}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2+3x^2}}{\sqrt{2}} \bigg| + C \\ \\ \\ \boxed{\boxed{ \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \ln \bigg| \frac{\sqrt{3} \, x+\sqrt{2+3x^2}}{\sqrt{2}} \bigg| + C }}$

Em módulo devido o domínio da função ln(x) ser somente os reais maiores que zero, o que implica que se der um número negativo, o módulo cuidará dele e garantirá que se torne positivo, isso pq o logaritno natural de qualquer número negativo representa uma indeterminação.