Question

Resolver em R+ a equação:

x^√x = √x^x

Gabarito: S={0,1,4}

Answer 1

Olá Carlos.


Organizando e resolvendo a equação:


$\mathsf{x^{\sqrt{x}}=\sqrt{x}^x~\Rightarrow~x^{\sqrt{x}}=x^{\frac{x}{2}}}\\\\\mathsf{\sqrt{x}=\dfrac{x}{2}~\cdot(2)}\\\\\mathsf{(2\sqrt{x})^2=x^2}\\\\\mathsf{4x=x^2}\\\\\mathsf{x^2-4x=0}\\\\\mathsf{\underbrace{\mathsf{x}}\cdot\underbrace{\mathsf{(x-4}})=0}\\\mathsf{~~r_1\qquad r_2}\\\\\\\mathsf{r_1:x-4=0}\\\\\mathsf{r_1:x=4}\\\\\mathsf{r_2:x=0}$


Mas perceba que também temos uma igualdade de incógnitas na base, nesses casos incluímos a raiz 1. Pois 1 elevado a qualquer número continuará valendo 1!


$\boxed{\mathsf{S=\{4,1,0\}}}$



Dúvidas? comente.