Question

Resolver a integral pelo método fração parcial: ∫(x³+3) dx / x²-3x-4

Answer 1

Temos o seguinte:

$\int { \dfrac{x^3+3}{x^2 - 3x-4} } \, dx$

Utilizando divisão de polinômios, temos:

$\dfrac{x^3+3}{x^2 - 3x-4} } = x+3 + \dfrac{13x+15}{x^2 - 3x - 4}$

Assim temos:

$\int {x+3 + \dfrac{13x+15}{x^2 - 3x - 4} } \, dx = \int {x+3} \, dx +\int {\dfrac{13x+15}{x^2 - 3x - 4}} \, dx$

Resolvendo cada integral individualmente, começando com a primeira:

$\int{x+3} \, dx = \dfrac{x^2}{2} + 3x$

A segunda:

$\int {\dfrac{13x+15}{x^2 - 3x - 4}} \, dx = \int{\dfrac{13x+15}{(x-4)(x+1)}} \, dx \\ \\ \\ \dfrac{13x+15}{(x-4)(x+1)} = \dfrac{A}{x-4} + \dfrac{B}{x+1} \\ \\ A(x+1) + B(x-4) = 13x + 15 \\ \\ Ax + A + Bx - 4B = 13x + 15 \\ \\ x(A+B) + (A-4B) = 13x + 15 \\ \\ \left \{ {{A+B=13} \atop {A-4B=15}} \right. \to \left \{ {{4A+4B=52} \atop {A-4B=15}} \right. \to 5A = 67 \therefore A = \frac{67}{5} \\ \\ B = 13 - A \therefore B = 13 - \frac{67}{5} \therefore B = -\frac{2}{5}$

$\dfrac{13x+15}{(x-4)(x+1)} = \dfrac{A}{x-4} + \dfrac{B}{x+1} = \dfrac{67}{5(x-4)} - \dfrac{2}{5(x+1)} \\ \\ \\ \int {\dfrac{67}{5(x-4)} - \dfrac{2}{5(x+1)}} \, dx = \frac{67}{5} \int {\dfrac{1}{x-4}} \, dx - \frac{2}{5} \int {\dfrac{1}{x+1}} \, dx \\ \\ \\ = \dfrac{67}{5} \cdot \ln(x-4) - \dfrac{2}{5} \cdot \ln(x+1)$

Logo temos como resultado da integral:

$\int { \dfrac{x^3+3}{x^2 - 3x-4} } \, dx = \dfrac{x^2}{2} + 3x + \dfrac{67}{5} \cdot \ln(x-4) - \dfrac{2}{5} \cdot \ln(x+1) + C$