Question

Resolva:
x³ – 19x + 30 = 0 é equivalente a :

(A) (x + 2) . (x + 3) . (x + 5)

(B) (x - 2) . (x - 3) . (x - 5)

(C) (2x) . (x - 3) . (x + 5)

(D) (x - 2) . (3x) . (x + 5)

(E) (x - 2) . (x - 3) . (x + 5)​

Answer 1

Resposta: Encontra-se no final desta resolução. A alternativa (E) está correta.

Resolução:

O exercício solicita a máxima forma fatorada da seguinte equação polinomial cúbica:

$\mathsf{x^{3}-19x+30=0}$

Sendo assim, vamos fatorá-la:

$\mathsf{x^3-19x+30=0\quad\Longleftrightarrow}\\\\\mathsf{x^3-19x+38-8=0\quad\Longleftrightarrow}\\\\\mathsf{x^3-8-19x+38=0\quad\Longleftrightarrow}\\\\\mathsf{x^3-2^3-19\big(x-2\big)=0\qquad(i)}$

Para dar seguimento à fatoração, deve-se ter conhecimento de uma identidade algébrica bastante conhecida, denominada Diferença de Cubos. Tal identidade é dada por:

$\mathsf{x^3-y^3=\big(x-y\big)\big(x^2+xy+y^2\big);\ \forall\ x,\,y\ \in\ \mathbb{C}}$

Tendo em mente a igualdade acima, a equação (i) equivaler-se-á:

$\mathsf{~x^3-2^3-19\big(x-2\big)=0\quad\Longleftrightarrow}\\\\\mathsf{\big(x-2\big)\big(x^2+2x+2^2\big)-19\big(x-2\big)=0\quad\Longleftrightarrow}\\\\\mathsf{\big(x-2\big)\big[\big(x^2+2x+4\big)-19\big]=\,0\quad\Longleftrightarrow}\\\\\mathsf{\big(x-2\big)\big(x^2+2x+4-19\big)=\,0\quad\Longleftrightarrow}\\\\\mathsf{\big(x-2\big)\big(x^2+2x-15\big)=0\qquad(ii)}$

Perceba que o primeiro membro da equação (ii) é um produto de dois polinômios univariados mônicos (de uma única variável e coeficiente líder igual a unidade), sendo um deles de grau 2 e o outro de grau 1. Objetivando a máxima fatoração do lado esquerdo da igualdade, faz-se necessário fatorar o polinômio do 2° grau (que é um dos fatores), e transformá-lo num produto de dois outros polinômios do 1° grau (distintos ou não). Por fim, a igualdade (ii) tornar-se-á:

$\mathsf{\big(x-2\big)\big(x^2+2x-15\big)=0\quad\Longleftrightarrow}\\\\\mathsf{\big(x-2\big)\big(x^2+5x-3x-15\big)=0\quad\Longleftrightarrow}\\\\\mathsf{\big(x-2\big)\big[x\big(x+5\big)-3\big(x+5\big)\big]=0\quad\Longleftrightarrow}\\\\\mathsf{\big(x-2\big)\big[\big(x+5\big)\big(x-3\big)\big]=0\quad\Longleftrightarrow}\\\\\boxed{\mathsf{\big(x-2\big)\big(x-3\big)\big(x+5\big)=\,0}}$

Um grande abraço!

Answer 2

Resposta:

Observe as alternativas,  ou 5 ou -5  é uma raiz com certeza , não sei porque vou chutar -5 como raiz  ==> (x+5) divide o polinômio , vou diminuir um grau o polinômio, usando o método das chaves, prefiro o Ruffini, mas o Método das chaves é o mais popular.

x³-19x+ 30     |   x+5

                         x²-5x+6

-x³-5x²

-5x²-19x+30    

+5x²+25x

6x+30  

-6-30

Resto =0     ...-5 é uma raiz

x²-5x+6=0

x''=[5+√(25-24)]/2 =(5+1)/2= 3 é a segunda raiz

x'''=[5-√(25-24)]/2 =(5-1)/2= 2 é a terceira raiz

P(x)=a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''')

P(x)=x³-19x+30= a*(x-2)*(x-3)*(x+5)

como a =1

P(x) é equivalente a  (x-2)*(x-3)*(x+5)

Letra E