Question

Resolva usando o latex, a equação logarítmica, no campo dos números complexos

$\Large\boxed{2+\log_5(5x)+2\cdot[\log_{25}(x)]=4-\log_{0,2}(x-3)}$

Answer 1

$2+log_55+log_5x+2.\frac{log_5x}{log_525}=4-\frac{log_5(x-3)}{log_50,2}\\ \\ 2+1+log_5x+2.\frac{log_5x}{2}=4-\frac{log_5(x-3)}{-1}\\ \\ 3+log_5x+log_5x=4+log_5(x-3)\\ \\ log_5x+log_5x=1+log_5(x-3)\\ \\ log_5x+log_5x=log_55+log_5(x-3)\\ \\ 2log_5x=log_55(x-3)\\ \\ log_5x^2=log_5(5x-15)\\ \\ x^2=5x-15\\ \\ x^2-5x+15=0$

$\Delta=(-5)^2-4.1.15=25-60=-35\\ \\ x=\frac{5\pm\sqrt{-35}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{35}i}{2}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Equação Logarítmica :

Dada a equação :

$\mathsf{ 2 + \log_{5}(5x) + 2\cdot[\log_{25}(x)]~=~4 - \log_{0,2}(x - 3) }$

Para a resolução deste exercicio , vamos precisar d'um conhecimento um pouco sólido acerca dos logarítmos ...

Antes de arrancarmos com a resolução , é essencial destacar aquí algumas propriedades que necessáriamente vamos usa-las :

$\mathsf{Propriedades:} \begin{cases} \mathsf{ \log_{b}(a)~=~\dfrac{ \log_{c}(a) }{ \log_{c}(b) } } \\ \\ \mathsf{ \log_{a}(b.c)~=~\log_{a}(b) + \log_{a}(c) } \\ \\ \mathsf{ \log_{a}(b^n)~=~n.\log_{a}b} \end{cases}$

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Resolução....

$\mathsf{ 2 + \log_{5}5 + \log_{5}x + 2\cdot \log_{5^2} x ~=~4 - \log_{\frac{1}{5}} (x - 3) }$

Perceba que quando o logaritmando é exa[c]tamente igual a base do logarítmo , então dizemos que esse logarítmo vale 1 :

$\mathsf{2 + 1 + \log_{5}x + \cancel{2}\cdot\dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot \log_{5}x~=~4 - \log_{\frac{1}{5}}(x - 3) }$

$\mathsf{3 + \log_{5}x + \log_{5}x~=~4 - \log_{\frac{1}{5}} (x - 3) }$

$\mathsf{2\log_{5}x~=~4-3 - \log_{\frac{1}{5}}(x - 3) }$

$\mathsf{2\log_{5} + \log_{\frac{1}{5}}(x - 3)~=~1 }$

Vamos fazer a mudança de base , de tal maneira que tenhas toda a Expressão com bases iguais :

$\mathsf{ 2\log_{5}x + \dfrac{ \log_{5} (x - 3) }{ \log_{5}\frac{1}{5} } ~=~1 }$

$\mathsf{2\log_{5}x + \dfrac{ \log_{5}(x - 3) }{ \log_{5}1 - \log_{5}5 } ~=~ 1 }$

$\mathsf{2\log_{5} + \dfrac{ \log_{5}(x - 3) }{ 0 - 1 } ~=~1 }$

$\mathsf{ \log_{5}x^2- \log_{5}(x - 3)~=~1 }$

$\mathsf{ \log_{5}\Big( \dfrac{x^2}{x-3} \Big)~=~1 }$

Aplicando a definição dos logarítmos :

$\mathsf{5^1~=~\dfrac{x^2}{x-3} }$

$\mathsf{x^2~=~5x - 15 }$

$\mathsf{ \red{ x^2-5x + 15~=~0 } }$

$\mathsf{Coeficientes:} \begin{cases} \mathsf{ a~=~1 } \\ \\ \mathsf{b~=~-5} \\ \\ \mathsf{c~=~15} \end{cases}$

Bhaskara :

$\mathsf{x~=~\dfrac{-b\pm\sqrt{ \Delta}}{2a} }$ , Onde :

∆ = b² - 4ac , Então inserindo a expressão , vamos ter :

$\boxed{\boxed{\mathsf{x~=~\dfrac{-b\pm\sqrt{ b^2-4ac}}{2a} }}}}$

Substituindo Vamos ter :

$\mathsf{ x~=~\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4.1.15}}{2.1} }$

$\mathsf{ x~=~\dfrac{+5\pm\sqrt{25-60}}{2} ~=~\dfrac{5\pm\sqrt{-35}}{2} }$

$\mathsf{x~=~\dfrac{5\pm\sqrt{(-1).35}}{2}~=~\dfrac{5\pm\sqrt{-1}.\sqrt{35}}{2} }$

$\mathsf{x~=~} \begin{cases} \mathsf{\green{x_{1}~=~\dfrac{5+i\sqrt{35}}{2}} } \\ \\ \mathsf{ \green{ x_{2}~=~ \dfrac{5-i\sqrt{35}}{2} } } \end{cases}$

Espero ter ajudado bastante!)

por uma boa educação !