Question

Resolva o sistema linear: x+2y+z=4 , 2x+y-z=1 , 3x-y-2z=-2

Answer 1

Resposta:

$x = \frac{1}{2}$

$y = \frac{7}{6}$

$z = \frac{7}{6}$

Explicação passo a passo:

Podemos utilizar a Regra de Cramer para solucionar este sistema.

Inicialmente, vamos calcular o determinante de uma matriz 3x3 preenchida com os coeficientes das três sentenças:

$D = \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&-1\\3&-1&-2\end{array}\right|$

$D =$ 1 · 1 · (-2) + 2 · (-1) · 3 + 1 · 2 · (-1) - 1 · 1 · 3 - 2 · 2 · (-2) - 1 · (-1) · (-1)

$D =$ -2 - 6 - 2 - 3 + 8 - 1

$D =$ -6

Agora iremos substituir a coluna x da matriz pelos termos independentes e calcular o determinante para x:

$D_{x} = \left|\begin{array}{ccc}4&2&1\\1&1&-1\\-2&-1&-2\end{array}\right|$

$D_{x} =$ 4 · 1 · (-2) + 2 · (-1) · (-2) + 1 · 1 · (-1) - 1 · 1 · (-2) - 2 · 1 · (-2) - 4 · (-1) · (-1)

$D_{x} =$ -8 + 4 - 1 + 2 + 4 - 4

$D_{x} =$ -3

Na sequência, iremos substituir a coluna y da matriz pelos termos independentes e calcular o determinante para y:

$D_{y} = \left|\begin{array}{ccc}1&4&1\\2&1&-1\\3&-2&-2\end{array}\right|$

$D_{y} =$ 1 · 1 · (-2) + 4 · (-1) · 3 + 1 · 2 · (-2) - 1 · 1 · 3 - 4 · 2 · (-2) - 1 · (-1) · (-2)

$D_{y} =$ -2 - 12 - 4 - 3 + 16 - 2

$D_{y} =$ -7

Por último, iremos substituir a coluna z da matriz pelos termos independentes e calcular o determinante para z:

$D_{z} = \left|\begin{array}{ccc}1&2&4\\2&1&1\\3&-1&-2\end{array}\right|$

$D_{z} =$ 1 · 1 · (-2) + 2 · 1 · 3 + 4 · 2 · (-1) - 4 · 1 · 3 - 2 · 2 · (-2) - 1 · 1 · (-1)

$D_{z} =$ -2 + 6 - 8 - 12 + 8 + 1

$D_{z} =$ -7

Finalmente, após encontrar todos os determinantes que necessitamos, podemos calcular o valor de cada incógnita assim:

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-3}{-6} =\frac{1}{2}$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-7}{-6} = \frac{7}{6}$

$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-7}{-6} = \frac{7}{6}$

Espero ter lhe ajudado.

Abraços!