Question

Resolva o seguinte limite:

Lim ( √x - 1 ) / ( √( 2x + 3 ) - √ 5 ) quando x tende a 1.

Não gostaria de receber a resposta usando a derivadas, mas se quiser colocar as duas maneiras, fico muito grato.

Answer 1

Boa noite!!

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} -1}{\sqrt{2x +3}-\sqrt{5}}$

Dividindo encima e embaixo por (x -1) não alteramos a expressão:

$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{x} -1}{x-1}}{\frac{\sqrt{2x +3}-\sqrt{5}}{x-1}}$

O limite da divisão é a divisão dos limites, assim o Limite entra na razão:

$\frac{\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x} -1}{x-1}}{\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{2x +3}-\sqrt{5}}{x-1}}$

Assim, 1º caso:

$\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x} -1}{x-1}$

Multiplicando pelo conjugado do numerador teremos:

$\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x} -1}{x-1}.\frac{\sqrt{x} +1}{\sqrt{x} +1} \\ \lim_{x \to 1}\frac{x -1}{(x-1).\sqrt{x}+1} \\ \lim_{x \to 1}\frac{1}{\sqrt{x}+1} = \frac{1}{\sqrt{1} +1} = \frac{1}{2}$

Calculando 2º caso:

$\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{2x +3}-\sqrt{5}}{x-1}$

Multiplicando pelo conjugado do numerador novamente:

$\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{2x +3}-\sqrt{5}}{x-1}.\frac{\sqrt{2x +3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2x +3}+\sqrt{5}} \\ \lim_{x \to 1}\frac{2x +3-5}{(x-1).(\sqrt{2x +3}+\sqrt{5})} \\ \lim_{x \to 1}\frac{2x -2}{(x-1).(\sqrt{2x +3}+\sqrt{5})} \\ \lim_{x \to 1}\frac{2.(x-1)}{(x-1).(\sqrt{2x +3}+\sqrt{5})} \\ \lim_{x \to 1}\frac{2}{\sqrt{2x +3}+\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Como o limite da razão é a razão dos limites:

$\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{5}}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$

Espero ter ajudado, bons estudos!