Question

Resolva no caderno as seguintes inequaçoes em r

A) (x-3)(-x^2+3x+10) <0
B) (x^2-3x)(-x+2)$\geq 0$

Answer 1

Resposta:

(x-3)(-x²+3x+10) < 0

Vamos igualar a zero esquecendo o sinal da desigualdade.

(x-3)(-x²+3x+10) = 0

x - 3 = 0 | ou -x² + 3x + 10 = 0

x = 3 |

-x²+3x + 10 = 0

x²-3x-10 = 0

x² -( 5x+2x) -10 = 0

x²-5x + 2x - 10 = 0

x(x-5) + 2(x-5) = 0

(x+2)(x-5) = 0

x = -2 ou x = 5

---------------------

Temos três raizes.

x = 3

x = -2

x = 5

--------------------

Agora temos que achar os pontos máximos e mínimos da função.

y = (x-3)(-x²+3x+10) = 0

Vamos efetuar as distributiva para derivarmos.

y = x*-x²+x*3x+x*10 -3*-x²-3*3x-3*10 = 0

y = -x³+3x²+10x+3x²-9x -30 = 0

y = -x³ +6x²+x-30 = 0 <= essa função corta em y = -30

y' = -3x² +12x +1

----------------------

Igualando a zero teremos os pontos críticos.

y' = 0

-3x²+12x+1 = 0

Δ = b² -4ac

Δ = 12²-4*-3*1

Δ = 144 + 12

Δ = 156

-------------

x = (-b +/- √Δ)/2a

x = (-12 +/- √156)/2*-3

x = (-12 +/- √156)-6

156 | 2

78 | 2

39 | 3

13 | 13

---------

156 = 2²39

x' = (-12 - √2²39)/-6

x' = (-12 - 2√39)/-6

x' = [ -2(6 + √39)/-6]

x' = (6 + √39)/3 ≈ 4,08

------------------------

x'' = (-12 + √2²39)/-6

x'' = (-12 + 2√39)/-6

x'' = [ 2(-6+√39)/-6) ]

x'' = (-6+√39)/-3 ≈ -0,08

-----------------------

Derivando y' para substituir os pontos críticos:

y'' = d/dx( -3x²+12x+1)

y'' = -6x + 12

y(x')'' = -6*(x') + 12

y(4,08)'' = -6*4,08 + 12 ⇒ -12,48

y(4,08)'' < 0 é ponto máximo

----------------------

y(x'')'' = -6*x'' + 12

y(-0,08)'' = -6*-0,08 + 12

y(-0,08)'' > 0 é ponto mínimo!

---------------------------------

Grafico:

^

| y

| ´´

| ´´ ´´

| ´´ ´´

------------------------|--------------------------------------´´----->

-2´´ -0,08 3 4,08 5 ´ x

´´ ´´ ´´

´ ´´

´´ ´´

´´ ´´ -30

Agora repare:

Para que: para x < 0 deveremos:

S = { X ∈ R | 3 > x > -2 e 3 > x > 5 }

B). (x²-3x)(-x+2)>=0

Resolver a inequação-produto:

Multiplicando os dois lados por – 1, que é negativo, o sentido da desigualdade se inverte:

(o sinal ≥ torna-se ≤)

Encontrando as raízes do lado esquerdo:

•

•

•

As raízes são

Vamos montar o quadro de sinais:

Como queremos que o produto do lado esquerdo de seja menor ou igual que zero, o intervalo de interesse é

Conjunto solução:

ou usando a notação de intervalos,

Bons estudos! :-)