Question

Resolva, em R, as inequaçoes-quociente:
B) $\frac{4x-3}{-2x+3} \ \textless \ 0$
C) $\frac{2x}{-x+3} \geq 0$

Answer 1

Resolução de inequações produto/quociente:

- Achar as raízes do numerador e do denominador
- Estudar o sinal do numerador e do denominador
- Fazer o produto/quociente de sinais (estudo de sinais da função)
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b)

$\dfrac{4x-3}{-2x+3}~\textless~0$

Raiz do numerador (anula a fração):

$4x-3=0~~\therefore~~~4x=3~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x=\dfrac{3}{4}}}$

Raiz do denominador:

$-2x+3=0~~~\therefore~~~2x=3~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x=\dfrac{3}{2}}}$
_____________________

4x - 3 é a equação de uma reta crescente (pois 'a' > 0), logo é positiva para qualquer x maior que 3 / 4 e negativa para qualquer x menor que 3 / 4

- 2x + 3 é a equação de uma reta decrescente (- 2 < 0), então é positiva para qualquer x menor que 3 / 2 e negativa para qualquer x maior que 3 / 2

(Fiz o quadro de sinais e anexei à minha resposta)

Portanto, os valores de x que fazem com que o quociente entre essas funções seja negativo estão no conjunto solução:

$\boxed{\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}/x~\textless~\dfrac{3}{4}~ou~x~\textgreater~\dfrac{3}{2}\}}}$
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c)

Achando a raiz do numerador:

$2x=0~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x=0}}$

Achando a raiz do denominador:

$-x+3=0~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x=3}}$

O numerador é uma reta crescente, portanto é positiva para x maior que 0 e negativa para x menor que 0

O denominador é uma reta decrescente, então é negativa para x maior que 3 e positiva para x menor que 3

O quadro de sinais está em anexo

Veja que o valor que anula a fração (raiz do numerador) também está incluso no conjunto solução

$\boxed{\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}/~0~\le~x~\textless~3\}}}$