Question

resolva corretamente os sistemas de equações abaixo pelo método da substituição.
Ps-se possivel responda co o bhaskara completo.obg

Answer 1

a) x -y = 0 ⇒ x = 0 + y
   x . y = 16

y (0 + y) = 16
y² = 16
y = +- √16
y = 4 

x = 0 + 4
x = 4

b) x - y = 5 ⇒ x = 5 + y
   x² + y² = 13
( 5 + y)² + y² = 13
y² + 10y + 25 + y² - 13 = 0
2y² + 10y + 12 = 0   :2
y² + 5y + 6 = 0
a = 1
b = 5
c = 6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² - 4.1.6
Δ = 25 - 24
Δ = 1
y = -b + - √Δ / 2a
y = -5 + - √1 /2.1
y = -5 + - 1 /2
y' = -4/2 ⇒ y' = -2
y" = -6/2 ⇒ y" = -3

x = 5 + y
x' = 5 + (-2)
x' = 3

x " = 5- 3
x" = 2

c) x + y = 6 ⇒ x = 6 - y
x² + y² = 20

(6 - y )² + y² = 20
y² - 12 y + 36 + y² - 20 = 0
2y² - 12y + 16 = 0     : 2
y² - 6 y + 8 = 0
a = 1
b = -6
c = 8
Δ = b² - 4ac
Δ = (-6)² -4.1.8
Δ = 36 - 32
Δ = 4
y = -b + - √Δ / 2a
y = - (-6) + - √ 4 / 2.1
y = 6 + - 2 / 2
y' = 8/2
y' = 4
y" = 4/2
y" = 2

x =  6 - y
x' = 6 - 4
x' = 2
x" = 6 - 2
x" = 4

d) x - y = -3 ⇒ x = -3 + y
x² + 2y² = 18
(-3 + y)² + 2y² - 18 = 0
y² - 6y + 9 + 2y² -18 = 0
3y²  - 6y -9 = 0   : 3
y² - 2y - 3 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4.1.(-3)
Δ = 4 + 12
Δ = 16
y = -b +- √Δ /2a
y = -(-2) + - √16 / 2.1
y = 2 + - 4 / 2
y' = 6/2 ⇒ y' = 3
y" = -2/2 ⇒y" = -1

x = -3 +y
x = -3 + 3
x' = 0
x" = -3 -1
x" = -4

e) x + y = 4 ⇒ s = 4 - y
x² - xy = 6
(4 - y)² - xy - 6 = 0
y² - 8y + 16 - y (4 - y) - 6 = 0
y² - 8y + 16 - 4y + y² -6 = 0
2y² - 12y + 10 = 0  : 2
y² - 6y + 5 = 0
a = 1
b = -6
c = 5
Δ = b² - 4ac
Δ = (-6)² - 4.1.5
Δ = 36 - 20
Δ = 16
y = -b + - √Δ / 2a
y = -(-6) +-√16/2.1
y = 6+-4 /2
y' = 10/2 ⇒ y' = 5
y" = 2/2 ⇒ y" = 1

x = 4 - y
x' = 4 - 5
x' = -1
x" = 4 -1
x" = 3

Answer 2

a) $\begin{cases} x-y=0 \\ xy=16 \end{cases}$

Sendo $x-y=0$, temos $x=y$. 

Assim, $x^2=16~~\Rightarrow~~x=\pm\sqrt{16}=\pm4$.

Temos duas soluções: $(x,y)=(4,4),(-4,-4)$


b) $\begin{cases} x-y=5 \\ x^2+y^2=13 \end{cases}$

Como $x-y=5$, temos $(x-y)^2=5^2~~\Rightarrow~~x^2+y^2-2xy=25$.

Mas, como $x^2+y^2=13$, segue que, $13-2xy=25~~\Rightarrow~~xy=-6~~(i)$

Sabemos que, $x-y=5$, então $x=5+y$. Substituindo em $(i)$:

$(5+y)y=-6~~\Rightarrow~~y^2+5y+6=0~~\Rightarrow~~y=\dfrac{-5\pm\sqrt{1}}{2}~~\Rightarrow~~y=\dfrac{-5\pm1}{2}$

$y'=\dfrac{-5+1}{2}=-2$ e $y"=\dfrac{-5-1}{2}=-3$.

Se $y=-2$, temos $x=5+(-2)=3$.

Se $y=-3$, temos $x=5+(-3)=2$.

Logo, temos as soluções $(x,y)=(3,-2),(2,-3)$


c) $\begin{cases} x+y=6 \\ x^2+y^2=20 \end{cases}$

Como $x+y=6$, temos $(x+y)^2=6^2~~\Rigtarrow~~x^2+y^2+2xy=36$.

Mas, $x^2+y^2=20$, logo, $20+2xy=36~~\Rightarrow~~xy=8$.

Da primeira equação, tiramos que, $x=6-y$.

Assim, $(6-y)y=8~~\Rightarrow~~y^2-6y+8=0$.

$y=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{4}}{2}=\dfrac{6\pm2}{2}=3\pm1$.

$y'=3+1=4$ e $y"=3-1=2$.

Se $y=4$, temos $x=6-4=2$.

Se $y=2$, temos $x=6-2=4$.

As soluções são $(x,y)=(2,4),(4,2)$.


d) $\begin{cases} x-y=-3 \\ x^2+2y^2=18 \end{cases}$

Da primeira equação, temos $y=x+3$. Substituindo na segunda, obtemos:

$x^2+2(x+3)^2=18~~\Rightarrow~~x^2+2x^2+12x+18=18~~\Rightarrow~~3x^2+12x=0$

Assim,

$x^2+4=0~~\Rightarrow~~x(x+4)=0~~\Rightarrow~~x'=0~~x"=-4$.

Se $x=0$, temos $y=0+3=3$.

Se $x=-4$, temos $y=-4+3=-1$.

As soluções são $(x,y)=(0,3),(-4,-1)$


e) $\begin{cases} x+y=4 \\ x^2-xy=6 \end{case}$

Da primeira equação, temos $x=4-y$. Substituindo na segunda, obtemos:

$(4-y)^2-(4-y)y=6~\Rightarrow~16-8y+y^2-4y+y^2=6~\Rightarrow~2y^2-12y+10=0$

$y^2-6y+5=0$.

$y=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{6\pm4}{2}=3\pm2$.

$y'=3+2=5$ e $y"=3-2=1$

Se $y=5$, temos $x=4-5=-1$.

Se $y=1$, temos $x=4-1=3$.

As soluções são $(x,y)=(-1,5),(3,1)$