Question

Resolva as inequações:

a) 2 ≤ 2x + 2 ≤ 4x

c) -2x + 6 < 2x + 2 ≤ 4x


Não consegui chegar no resultado dessas duas :(

Esse aqui é o gabarito:

a) S = {x ∈ R | x ≥ 1}

c) S = {x ∈ R | x > 1}

Answer 1

Vamos lá.

Veja,Luana, que a resolução é simples.

Tem-se:

a) 2 ≤ 2x + 2 ≤ 4x ----- vamos transformar esta desigualdade em duas, ficando do seguinte modo:

a.i) 2 ≤ 2x+2      . (I)
e
a.ii) 2x+2 ≤ 4x    . (II)

a.iii) Agora vamos trabalhar com a expressão (I), que é esta:

2 ≤ 2x + 2 ---- veja que isto é a mesma coisa que:
2x + 2 ≥ 2 ------ passando "2" para o 2º membro, teremos;
2x ≥ 2 - 2
2x ≥ 0
x ≥ 0/2
x ≥ 0        . (III)

a.iv) Agora trabalharemos com a expressão (II), que é esta:

2x + 2 ≤ 4x ----- passando "4x" para o 1º membro da desigualdade e passando "2" para o 2º, iremos ficar da seguinte forma:

2x - 4x ≤ - 2
- 2x ≤ -2 ---- para não trabalharmos com o "2x" com sinal negativo, então deveremos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos da seguinte forma (note: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda: o que era ≤ passa para ≥ e vice-versa):

2x ≥ 2
x ≥ 2/2
x ≥ 1         . (IV)

a.v) Agora veja: encontramos, para uma mesma desigualdade que x ≥ 0, conforme vimos na expressão (III), e que x ≥ 1, conforme vimos na expressão (IV) acima.
Então: entre o "x" ser ≥ 0 e ser ≥ 1, vai prevalecer esta segunda hipótese, pois sendo x ≥ 1 já o será ≥ 0. Assim, prevalecerá o intervalo:

x ≥ 1  ---- Esta é a resposta para a expressão "a".

Se você quiser, poderá expressar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {x ∈ R | x ≥ 1}. 


b) -2x + 6 < 2x + 2 ≤ 4x

Para a desigualdade do item "b" vamos fazer o mesmo que fizemos para a desigualdade da questão "a", ou seja, vamos transformar em duas desigualdades da seguinte forma:

b.i) - 2x + 6 < 2x + 2        . (I)
e
b.ii) - 2x + 2 ≤ 4x          . (II)

b.iii) Vamos trabalhar com a expressão (I), que é esta:

- 2x + 6 < 2x + 2 ----- passando-se "2x" para o 1º membro da desigualdade e passando-se "6" para o 2º, teremos:

- 2x - 2x < 2 - 6
- 4x < - 4 ---- para não trabalharmos com "4x" negativo, vamos multiplicar ambos os membros por "-1" (lembre-se o que ocorre quando se multiplica uma desigualdade por "-1"). Assim:

4x > 4
x > 4/4
x > 1        . (III)
 
b.iv) Agora trabalharemos com a expressão (II), que é esta:

- 2x + 2 ≤ 4x ---- passando "4x" para o 1º membro e "2" para o 2º, teremos:

- 2x - 4x ≤ - 2
- 6x ≤ - 2 ----- para não trabalharmos com "6x" negativo, multiplicaremos ambos os membros por "-1", ficando assim (novamente lembre-se o que ocorre quando se multiplica uma desigualdade por "-1"):

6x ≥ 2
x ≥ 2/6 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos com:
x ≥ 1/3      . (IV).

b.v) Agora veja: temos, numa mesma desigualdade, que x > 1, conforme vimos na expressão (III)  e temos que x ≥ 1/3 , como vimos na expressão (IV).

Agora note: como a desigualdade é a mesma, apenas nós a dividimos em duas para facilitar a resolução, entre termos x > 1 e termos x ≥ 1/3, vai prevalecer a primeira hipótese, pois sendo x > 1 já o será > 1/3 e não irá poder ser igual a "1/3", hipótese em que cai a condição de x ≥ 1/3, para poder prevalecer apenas a primeira hipótese de x>1.
Assim, a resposta para a desigualdade do item "b" será:

x > 1 ----- Esta é a resposta para a questão do item "b".

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {x ∈ R | x > 1}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

vc pode me ajuda se e de mais ou de vezes não estou conseguindo dazer