Question

resolva a equação

(n+3)! + (n+2)!/n+4 = (n+1)! + 4n!

me ajudem nessa questão por favor, com explicação

​

Answer 1

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{ \color{green} \boxed{Olá\:tudo\:bem?}}}}}}} \\ \\ ~\huge\mid{\boxed{\bf{\blue{Matem\acute{a}tica}}}\mid}$

$\frac{(n + 3)! + (n + 2)!}{n + 4} = (n + 1)! + 4n!$

Use a propriedade $n! = n \times (n - 1)$

$\frac{(n + 3) \times (n + 2)! + (n + 2)!}{n + 4} = (n + 1)! + 4 \times n!$

$\frac{(n + 3) \times (n + 2)! + (n + 2)!}{n + 4} = (n + 1) \times n! + 4 \times n!$

Evidêncie o (n + 2)!

$\frac{(n + 3 + 1) \times (n + 2)!}{n + 4} = (n + 1) \times n! + 4 \times n!$

Evidêncie o n!

$\frac{(n + 3 + 1) \times (n + 2)!}{n + 4} = (n + 1 + 4) \times n!$

Some os valores

$\frac{(n + 4) \times (n + 2)!}{n + 4} = (n + 1 + 4) \times n!$

$\frac{(n + 4) \times (n + 2)!}{n + 4} = (n + 5) \times n!$

$\frac{\cancel{ (n + 4) } \times (n + 2)!}{\cancel{ n + 4 }} = (n + 5) \times n!$

$(n + 2)! = (n + 5) \times n!$

Organize a expressão

$(n + 2)! - (n + 5) \times n! = 0$

Use novamente a propriedade $n! = n \times (n - 1)$

$(n + 2) \times (n + 1) \times n! - (n + 5) \times n! = 0$

Evidêncie novamente o n!

$n! \times ((n + 2) \times (n + 1) - (n + 5)) = 0$

Simplifique a expressão

$n! \times ( {n}^{2} + n + 2n + 2 - (n + 5)) = 0$

Faça a propriedade dos sinais

$n! \times ( {n}^{2} + n + 2n + 2 - n - 5) = 0$

A soma "+n - n" é zero

$n! \times ( {n}^{2} + 2n + 2 - 5) = 0$

$n! \times ( {n}^{2} + 2n - 3) = 0$

$n! = 0 \\ {n}^{2} + 2n - 3 = 0$

$Ø \\ {n}^{2} + 2n - 3 = 0$

$Ø \\ {n}^{2} + 3n - n - 3 = 0$

$Ø \\ n \times (n + 3) - n - 3 = 0$

$Ø \\ n \times (n + 3) - (n + 3) = 0$

$Ø \\ (n + 3) \times (n - 1) = 0$

$Ø \\ n + 3 = 0 \\ n - 1 = 0$

$Ø \\ n = - 3 \\ n = 1$

Encontre a união

$n = - 3 \\ n = 1$

Primeiro verifique se o valor é a solução da equação

$\frac{( - 3 + 3)! + ( - 3 + 2)!}{ - 3 + 4} = ( - 3 + 1)! + 4 \times ( - 3)! \\ n = 1$

$\frac{( - 3 + 3)! + ( - 3 + 2)!}{ - 3 + 4} = ( - 3 + 1)! + 4 \times ( - 3)! \\ \frac{(1 + 3)! + (1 + 2)!}{1 + 4} = (1 + 1)! + 4 \times 1!$

$indefinido \\ 6 = 6$

O fatorial é definido só para números inteiros e 0, por isso deu indefinido

• Obs: dado que a expressão é indefinida, n = -3 não é a solução da equação

$n≠ - 3 \\ 6 = 6$

• A igualdade é verdadeira, por tanto, n = 1 é o resultado da equação

$n \in \: N \\ 1 \in \: N$

$\red{\: Se \: você \: quiser \: me \: ajudar} \\ \red{Coloca \: como \: melhor \: resposta} \\ \red{Obrigado \: pela \: atenção.} \\ \\ {\huge\boxed { {\bf{E}}}\boxed { \red {\bf{a}}} \boxed { \blue {\bf{s}}} \boxed { \gray{\bf{y}}} \boxed { \red {\bf{}}} \boxed { \orange {\bf{M}}} \boxed {\bf{a}}}{\huge\boxed { {\bf{t}}}\boxed { \red {\bf{h}}}} \\ \\ {\boxed{ \color{blue} \boxed{ 27 |02|22  }}}{\boxed{ \color{blue} \boxed{Espero \:  ter  \: ajudado \: ☆}}}$

Answer 2

Resposta:

[(n+3)! + (n+2)!]/(n+4) = (n+1)! + 4n!  

[(n+3)(n+2)(n+1)n! + (n+2)(n+1)n!]/(n+4) = (n+1)n! + 4n!

## divida tudo por n!

[(n+3)(n+2)(n+1) + (n+2)(n+1)]/(n+4) = (n+1) + 4

(n+3)(n+2)(n+1) + (n+2)(n+1) =(n+4)*(n+5)

8 + 14 n + 7 n^2 + n^3  = 20 + 9 n + n^2

n³+6n²+5n-12=0

podemos somar n² -n² =0  ..ñ faz diferença

n³+6n²+n² -n²+5n-12=0

podemos somar 12n-12n =0  ..ñ faz diferença

n³+7n² +12n-12n - n²+5n-12=0

arrumando

 n^3 + 7 n² + 12n  - n^2 -7 n - 12    =0

colocando em evidência (n²+7n+12)

(n²+7n+12) *(n-1)=0

n-1=0   ==>n=1  é uma raiz

n²+7n+12=0

n'=[-7+√(49-48)]/2= (-7+1)/2=-3  não pertence aos naturais

n''=[-7-√(49-48)]/2= (-7-1)/2=-4  não pertence aos naturais

Resposta  ==> n = 1