Question

Resolva a equação diferencial , (y^2 + xy^2)dx + (x^2 - yx^2)dy = 0 ,calculando a curva no ponto
P ( 2, 2 ).

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$\sf (y {}^{2} + xy {}^{2} )dx + (x {}^{2} - yx {}^{2} ) dy= 0$

Para resolver essa equação diferencial, vamos iniciar multiplicando todos os termos por 1/dx:

$\sf ( {y}^{2} + xy {}^{2} ) \cancel{dx} \: . \: \frac{1}{ \cancel{dx}} + (x {}^{2} - yx {}^{2}) dy \: . \: \frac{1}{dx} = 0 \: . \: \frac{1}{dx} \\ \\ \sf y {}^{2} + xy {}^{2} + (x {}^{2} - yx{}^{2} ). \frac{dy}{dx} = 0$

Observe que essa expressão pode ter as variáveis separáveis, então vamos utilizar este método de resolução. Para separar de fato as variáveis, vamos iniciar multiplicando tudo por (1/x²y²), fazendo isso, temos:

$\sf (y {}^{2} + xy {}^{2} ) \: . \: \frac{1}{x {}^{2} y {}^{2} } + (x {}^{2} - yx {}^{2} ). \frac{dy}{dx} \: . \: \frac{1}{x {}^{2} y {}^{2} } = 0 \: . \: \frac{1}{x {}^{2}y {}^{2} } \\ \\ \sf \frac{y {}^{2} + xy {}^{2} }{x {}^{2}y {}^{2} } + \left( \frac{x {}^{2} - y {x}^{2} }{x {}^{2} y {}^{2} } \right). \frac{dy}{dx} = 0 \\ \\ \sf \frac{ \cancel{y {}^{2}}.(1 + x) }{x {}^{2} \cancel{y {}^{2}} } + \left( \frac{ \cancel{x {}^{2}} .(1 - y ) }{ \cancel{x {}^{2}} y {}^{2} } \right). \frac{dy}{dx} = 0\\ \\ \sf \frac{1 + x}{x {}^{2} } + \left( \frac{1 - y}{y {}^{2} } \right). \frac{dy}{dx} = 0 \\ \\ \sf \frac{1 + x}{x {}^{2} } = - \left( \frac{1 - y}{y {}^{2} } \right). \frac{dy}{dx} \\ \\ \sf \left( \frac{1 + x}{x {}^{2} } \right)dx = - \left( \frac{1 - y}{y {}^{2} } \right)dy$

Agora devemos aplicar a integral em ambos os lados da equação:

$\sf \int \sf \left( \frac{1 + x}{x {}^{2} } \right)dx = - \int \left( \frac{1 - y}{y {}^{2} } \right)dy$

Para resolver essa primeira integral, vamos utilizar o método mais convencional:

$\sf \int \sf \left( \frac{1 + x}{x {}^{2} } \right)dx \to \: \int (1 + x) \: . \: x {}^{ - 2} \: dx\\ \\ \sf \int x {}^{ - 2} + x {}^{ - 1} \: dx \: \to \: \int \frac{1}{x {}^{2} } \: dx + \int \frac{1}{x} \: dx \\ \\ \boxed{\sf \int \frac{1}{x {}^{2} } \: dx + \int \frac{1}{x} \: dx = - \frac{1}{x} + \ln( |x| ) + k}$

A segunda integral será resolvida pela mesma lógica utilizada anteriormente:

$\sf - \int \left( \frac{1 - y}{y {}^{2} } \right) \: dy \: \to \: - \int (1 - y )\: . \: y {}^{ - 2} \: dy \\ \\ \sf - \int y {}^{ - 2} - y {}^{ - 1} \: dy \: \to \: - \int \frac{1}{y {}^{2} } \: dy + \int \frac{1}{y} \: dy \\ \\ \boxed{ \sf - \int \frac{1}{y {}^{2} } \: dy + \int \frac{1}{y} \: dy = \frac{1}{y} + \ln( |y| ) + k }$

Substituindo essas informações:

$\sf - \frac{1}{x} + \ln( |x| ) + k = \frac{1}{y} + \ln( |y| ) + k \\ \\ \sf - \frac{1}{x} + \ln( |x| ) = \frac{1}{y} + \ln( |y| ) + k$

Como daria muito trabalho simplificar e isolar o y, podemos para por aqui. A questão menciona o ponto P(2,2), ou seja, com isso podemos achar a solução particular desta equação:

$\sf - \frac{1}{2} + \ln( |2| ) = \frac{1}{2} + \ln( |2| ) + k \\ \\ \sf k =-1$

Portanto a solução geral é:

$\boxed{ \boxed{\sf - \frac{1}{x} + \ln( |x| ) = \frac{1}{y} + \ln( |y| ) -1}}$

Espero ter ajudado