Question

Resolva a equação de Bernoulli

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{y=\pm~\sqrt{Cx-x\ln x},~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos resolver esta equação diferencial linear homogênea.

Seja a equação:

$2xy\dfrac{dy}{dx}-y^2+x=0$

Divida ambos os lados da equação por um fator $x$

$2y\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{y^2}{x}+1=0$

Faça uma substituição $w=y^2$. Veja que ao derivarmos ambos os lados da expressão, temos $\dfrac{dw}{dx}=2y\dfrac{dy}{dx}$, logo

$\dfrac{dw}{dx}-\dfrac{w}{x}+1=0$

Subtraia $1$ em ambos os lados da equação

$\dfrac{dw}{dx}-\dfrac{w}{x}=-1$

Veja que esta equação de Bernoulli, que assume a forma $y'+P(x)y=Q(x)y^n$, com $n=0$.

Devemos calcular seu fator integrante, utilizando a fórmula $\bold{I.~F}=e^{\int P(x)\,dx}$

Substituindo $P(x)$ na fórmula, temos

$\bold{I.~F}=e^{\int -\frac{1}{x}\,dx}$

Calcule a integral

$\bold{I.~F}=e^{-\ln x+C_1}$

Separando a potência como produto, temos

$\bold{I.~F}=e^{-\ln x}\cdot e^{C_1}$

Considerando $e^{C_1}=C_2$  e sabendo que $e^{\ln x}=x$, temos

$\bold{I.~F}=C_2\dfrac{1}{x}$.

Então, a solução geral desta equação é dada por:

$w={\dfrac{\displaystyle\int Q(x)\cdot \bold{I.~F}\,dx}{\bold{I.~F}}$

Substituindo $Q(x)=-1$ e o fator integrante que encontramos, temos

$w={\dfrac{\displaystyle\int -1\cdot C_2\dfrac{1}{x}\,dx}{C_2\dfrac{1}{x}}$

Calculando esta integral, temos

$w={\dfrac{-\ln x + C}{\dfrac{1}{x}}$

Calcule a fração de fração

$w=-x\ln x + Cx$

Lembre-se que $w=y^2$ , logo

$y=\pm~\sqrt{Cx-x\ln x},~C\in\mathbb{R}$

Esta é a solução desta equação diferencial.