Question

Resolva a equação abaixo : In (3x+4) + In (2-x)=0

Answer 1

$\mathrm{\ell n}(3x+4)+\mathrm{\ell n\,}(2-x)=0$


Passo 1: Encontrar as condições de existência para esta equação:

$\bullet\;\;3x+4>0\\\\ 3x>-4\\\\ x>-\dfrac{4}{3}~~~~~~\mathbf{(i)}\\\\\\ 2-x>0\\\\ x<2~~~~~~\mathbf{(ii)}$


De $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)},$ tiramos a condição de existência para a solução da equação dada:

$\boxed{\begin{array}{c}-\dfrac{4}{3}<x<2 \end{array}}~~~~~~\mathbf{(iii)}$

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Passo 2: Resolvendo a equação dada:

$\mathrm{\ell n}(3x+4)+\mathrm{\ell n\,}(2-x)=0~~~~~~(\text{mas }0=\mathrm{\ell n\,}1)\\\\ \mathrm{\ell n}(3x+4)+\mathrm{\ell n\,}(2-x)=\mathrm{\ell n\,}1\\\\ \mathrm{\ell n}\big[(3x+4)(2-x)\big]=\mathrm{\ell n\,}1$


Agora temos uma igualdade entre logaritmos de mesma base. Como logaritmo é uma função injetora, para que os logaritmos sejam iguais, basta que os logaritmandos sejam iguais:

$(3x+4)(2-x)=1\\\\ 6x-3x^2+8-4x=1\\\\ -3x^2+2x+8-1=0\\\\ -3x^2+2x+7=0\\\\ 3x^2-2x-7=0~~~\Rightarrow~~\left\{\! \begin{array}{l}a=3\\b=-2\\c=-7\end{array} \right.\\\\\\ \Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-7)\\\\ \Delta=4+84\\\\ \Delta=88\\\\ \Delta=2^3\cdot 11$


$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{2^3\cdot 11}}{2\cdot 3}\\\\\\ x=\dfrac{2\pm \sqrt{2^2\cdot 2\cdot 11}}{2\cdot 3}\\\\\\ x=\dfrac{2\pm 2\sqrt{22}}{2\cdot 3}\\\\\\ x=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (1\pm \sqrt{22})}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 3}\\\\\\ x=\dfrac{1\pm \sqrt{22}}{3}$

$\begin{array}{rcl} x_1=\dfrac{1-\sqrt{22}}{3}&~\text{ e }~&x_2=\dfrac{1+\sqrt{22}}{3} \end{array}$

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ATENÇÃO! Para saber se os valores encontrados são soluções da equação dada, devemos verificar se satisfazem a condição de existência $\mathbf{(iii)}.$


$\bullet\;\;$ Testando $x_1=\dfrac{1-\sqrt{22}}{3}:$

Sabemos que

$16<22<25\\\\ 4<\sqrt{22}<5\\\\ -5<-\sqrt{22}<-4\\\\ 1-5<1-\sqrt{22}<1-4\\\\ -4<1-\sqrt{22}<-3\\\\ -\dfrac{4}{3}<\dfrac{1-\sqrt{22}}{3}<-1\\\\\\ -\dfrac{4}{3}<x_1<-1<2\\\\\\ \therefore~~-\dfrac{4}{3}<x_1<2$


Logo, $x_1=\dfrac{1-\sqrt{22}}{3}$ é solução para a equação dada.


$\bullet\;\;$ Testando $x_2=\dfrac{1+\sqrt{22}}{3}:$

Sabemos que

$16<22<25\\\\ 4<\sqrt{22}<5\\\\ 1+4<1+\sqrt{22}<1+5\\\\ 5<1+\sqrt{22}<6\\\\ \dfrac{5}{3}<\dfrac{1+\sqrt{22}}{3}<2\\\\\\ -\dfrac{4}{3}<\dfrac{5}{3}<x_2<2\\\\\\ \therefore~~-\dfrac{4}{3}<x_2<2$


Logo, $x_2=\dfrac{1+\sqrt{22}}{3}$ também é solução para a equação dada.

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Conjunto solução: $S=\left\{\dfrac{1-\sqrt{22}}{3}\,,\,\dfrac{1+\sqrt{22}}{3} \right\}.$


Bons estudos! :-)