Question

|Resolução de Equação|

$\frac{4}{(6+x)^2} = \frac{1}{x^2}$

Existe uma maneira mais simples de se resolver sem precisa desenvolver o quadrado da soma ou fazer equação de segundo grau?

Answer 1

Sim, aplicando raiz quadrada nos dois lados da equação, e lembrando que

$\sqrt{k^{2}}=|k|=\begin{cases}~~k,~~~se~k\ge0\\-k,~~~se~k~\textless~0\end{cases}$
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$\dfrac{4}{(6+x)^{2}}=\dfrac{1}{x^{2}}$

aplicando raiz quadrada nos dois lados da equação:

$\sqrt{\dfrac{4}{(6+x)^{2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{x^{2}}}\\\\\\\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{(6+x)^{2}}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{x^{2}}}\\\\\\\dfrac{2}{|6+x|}=\dfrac{1}{|x|}$

Multiplicando em cruz (supondo $x\neq0,\,x\neq-6$, obtemos a seguinte equação

$|6+x|=2|x|$

Suponha $x\ge0~~\Longrightarrow~~6+x\ge6\ge0$

Nesse caso, $|6+x|=6+x$ e $|x|=x$:

$|6+x|=2|x|\\\\6+x=2x\\\\6=2x-x\\\\\boxed{\boxed{6=x}}$

(essa é uma das raízes da equação)

Agora, suponha $x~\textless~0~~\Longrightarrow~~6+x~\textless~6$

Se $6+x~\textless~0$, teremos $|x|=-x$ e $|6+x|=-(6+x)$. Nesse caso:

$|6+x|=2|x|\\\\-(6+x)=2(-x)\\\\6+x=2x\\\\6=x~~(an\'alogo~ao~caso~anterior)$

Se $6+x~\textgreater~0$, teremos $|x|=-x$ e $|6+x|=6+x$. Nesse caso:

$|6+x|=2|x|\\\\6+x=2(-x)\\\\6+x=-2x\\\\x+2x=-6\\\\3x=-6\\\\\boxed{\boxed{x=-2}}$

essa é a outra raiz da equação.
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Prova real:

$\bullet\,\,x=-2:$

$\dfrac{4}{(6-2)^{2}}=\dfrac{1}{(-2)^{2}}\\\\\\\dfrac{4}{4^{2}}=\dfrac{1}{4}\\\\\\\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}~~~~~~(\checkmark)$

$\bullet\,\,x=6:$

$\dfrac{4}{(6+6)^{2}}=\dfrac{1}{6^{2}}\\\\\\\dfrac{4}{(2\cdot6)^{2}}=\dfrac{1}{36}\\\\\\\dfrac{4}{2^{2}\cdot6^{2}}=\dfrac{1}{36}\\\\\\\dfrac{4}{4\cdot36}=\dfrac{1}{36}\\\\\\\dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{36}~~~~(\checkmark)$

Answer 2

4x² = (6 + x)² 

2²x² = ( 6+x)² ==> (2x)² = (6+x)²  elimine as potências

2x = 6 + x ==> 2x - x = 6 ==> 6

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6 + x = - 2x 
2x+x = - 6  

3x = - 6 

x = - 2

4x² = (6 + x)²  . 

4(6)² = (6 + 6)² ==> 4.36 = 12²  ==> 144 = 144 V