Question

Reduzir à expressão mais simples: $\sqrt{ \frac{a \sqrt{b} }{ \sqrt[3]{a.b} } . \sqrt[4]{b}}$

Answer 1

Primeiro vamos apenas unir as frações do numerador

$\mathsf{\sqrt{\dfrac{a\cdot \sqrt{b}}{\sqrt[3]{ab}}\cdot \sqrt[4]{b}}}\\\\\\ \mathsf{=\sqrt{\dfrac{a\cdot \sqrt[4]{b^{2}}\cdot \sqrt[4]{b}}{\sqrt[3]{ab}}}}\\\\\\ \mathsf{=\sqrt{\dfrac{a\cdot \sqrt[4]{b^{3}}}{\sqrt[3]{ab}}}}$


Agora nós vamos racionalizar o denominador. Lembrando que para racionalizar uma raiz cúbica temos que multiplicar três vezes, assim

$\mathsf{\sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[3]{x}=x}$

$\mathsf{\sqrt[3]{x^{2}}\cdot \sqrt[3]{x}=x}$


Continuando a resolução

$\mathsf{=\sqrt{\dfrac{a\cdot \sqrt[4]{b^{3}}}{\sqrt[3]{ab}}\cdot \dfrac{\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}{\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}}}\\\\\\ \mathsf{=\sqrt{\dfrac{a\cdot \sqrt[4]{b^{3}}\cdot \sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}{ab}}}$


Agora vamos usar uma propriedade para deixar os índices das duas raízes iguais. A propriedade é essa

$\mathsf{ \sqrt[n]{x^a}= \sqrt[mn]{x^{ma}} }$


Voltando a resolução, vamos multiplicar o índice e a potência da primeira raiz por 3 e o índice e a potência da segunda raiz por 4, assim as duas ficam com índices 12

$\mathsf{=\sqrt{\dfrac{\diagup\!\!\!\!a\cdot \sqrt[12]{b^{9}}\cdot \sqrt[12]{a^{8}b^{8}}}{\diagup\!\!\!\!ab}}}\\\\\\ \mathsf{=\sqrt{\dfrac{\sqrt[12]{a^{8}\cdot b^{17}}}{b}}}\\\\\\ \mathsf{=\sqrt{\dfrac{\diagup\!\!\!\!b\cdot \sqrt[12]{a^{8}\cdot b^{5}}}{\diagup\!\!\!\!b}}}\\\\\\ \mathsf{=\sqrt{\sqrt[12]{a^{8}\cdot b^{5}}}}$


E a última propriedade, quando temos raiz de raiz multiplicamos os índices, assim

$\mathsf{ \sqrt[m]{ \sqrt[n]{x} } }\\\\\\ \mathsf{ \sqrt[mn]{ x } }$


Finalizando temos o resultado da simplificação

$\mathsf{=\sqrt[2]{\sqrt[12]{a^{8}\cdot b^{5}}}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{=\sqrt[24]{a^{8}b^{5}}} \end{array}}\qquad \checkmark$


Bons estudos no Brainly! :)