Question

Reduza a equação geral dada e identifique a cônica de equação geral: LaTeX: x^2-4xy+y^2-2x+3=0

Answer 1

Primeiramente, vamos escrever a equação na forma matricial:

$\left[\begin{array}{ccc}x&y\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&-2\\-2&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]  + \left[\begin{array}{ccc}-2&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] + 3 = 0$.

Os autovalores da matriz $\left[\begin{array}{ccc}1&-2\\-2&1\end{array}\right]$ são λ₁ = -1 e λ₂ = 3, sendo que:

v₁ = (1,1) é um autovetor associado a λ₁ = -1  

v₂ = (-1,1) é um autovetor associado a λ₂ = 3.

Sabemos que ||v₁|| = √2 e ||v₂|| = √2.

Assim, temos as matrizes:

$P=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$ e $D=\left[\begin{array}{ccc}-1&0\\0&3\end{array}\right]$.

Daí,

$\left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-1&0\\0&3\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x_1\\y_1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}-2&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x_1\\y_1\end{array}\right] + 3 = 0$.

Assim, obtemos a seguinte equação:

-x₁² + 3y₁² - √2x₁ + √2y₁ + 3 = 0.

Completando quadrado:

$\frac{(x_1+\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{\frac{10}{3}}-\frac{(y_1+\frac{\sqrt{2}}{6})^2}{\frac{10}{9}}=1$

ou seja, a cônica é uma hipérbole.