Question

Questão sobre Progressão Aritmética
Um ciclista corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. determine quantos metros ele correu no último dia.
A resposta é 7200 Km, mas como faço para encontrar esse valor?

Answer 1

e também o último termo é dado por 

an=a1+r.(n-1) 

a11=x+400.(11-1)=x+4000 

Lembre que a razão desta PA vale 400. 

Como sabemos quantos metros ele percorreu nos 11 dias, então fica fácil sabermos quanto percorreu no primeiro dia. Basta utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PA. 

Sn=[(a1+an).n]/2 

S11=[(x+x+4000).11]/2=35200 

[(2x+4000).11]/2=35200 

(2x+4000).11=2.35200 

2x+4000=(2.35200)/11 

2x=6400-4000 

2x=2400 

x=1200 

Beleza! Ele percorreu 1200 metros no primeiro dia. 

Então, para encontrarmos o número de metros que ele percorreu no últimos dia é só substituir o valor de x na seguinte equação: 

a11=x+400.(11-1)=x+4000 

a11=1200+4000=5200

Answer 2

$\sf \sf \displaystyle 35200=\left(a1+an\right)\frac{11}{2}\\\\\\\sf 35200=\left(a\cdot \:1+an\right)\frac{11}{2}\\\\\\\sf \left(a\cdot \:1+an\right)\frac{11}{2}=35200\\\\\\\sf 2\left(a\cdot \:1+an\right)\frac{11}{2}=35200\cdot \:2\\\\\\\sf 11\left(a+an\right)=70400\\\\\\\sf \frac{11\left(a+an\right)}{11}=\frac{70400}{11}\\\\\\\sf a+an=6400\\\\\\\sf a\left(1+n\right)=6400\\\\\\\sf \frac{a\left(1+n\right)}{1+n}=\frac{6400}{1+n}\\\\\\\to \boxed{\boxed{\sf a=6400}}$

$\tt \tt an=\left(6400-an\right)+\left(11-1\right)\cdot 400\\\\\\\tt an=6400-an+\left(11-1\right)\cdot \:400\\\\\\\tt an=6400-an+4000\\\\\\\tt an=-an+10400\\\\\\\tt an+an=-an+10400+an\\\\\\\tt 2an=10400\\\\\\\tt \dfrac{2an}{2n}=\dfrac{10400}{2n}\\\\\\\to \boxed{\boxed{\sf a=5200}}$