Question

Questão n° 23Representa-se no plano complexo os pontos A, B e C, vértices de um triângulo T, correspondentes aos números complexos Zj, z7 e z^ que são raízes cúbicas de 8, sendo Zj = 2 . Com base no texto, assinale a alternativa correta.a)(-2, 0) é um dos vértices do triângulo T.b)z? é o conjugado complexo de Zj.c)Z2 = -Z3d)z9 + z^ = -2e)-z, = |z2|

Answer 1

Um número complexo z pode ser representado por:

$z = p(cos \theta + i.sen\theta)$

O número 8, por ser puramente real, pode ser escrito como:

$8 = 8(cos 0 + i.sen 0)$

As raízes de um número complexo podem ser encontradas pela seguinte expressão:

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{p} \left[cos\dfrac{\theta + 360k}{n} + i.sen\dfrac{\theta + 360k}{n} \right]$

onde k varia de 0 até n-1. Como precisamos das raízes cúbicas de 8, então n = 3 e k varia de 0 a 2, então podemos encontrar z2 e z3:

$z2 = \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{8} \left[cos\dfrac{0+ 360*1}{3} + i.sen\dfrac{0+ 360*1}{3} \right]\\ \\ z2 = 2 (cos 120 + i.sen120)\\ \\ \\ z3 = \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{8} \left[cos\dfrac{0+ 360*2}{3} + i.sen\dfrac{0+ 360*2}{3} \right]\\ \\ z3 = 2 (cos 240 + i.sen240)$

Podemos escrever z2 e z3 da seguinte forma:

z2 = -1 + i√3

z3 = -1 - i√3

Se fizermos z2 + z3, podemos ver que o resultado será -2.

Resposta: letra D