Question

Questão ENEM nível moderado fácil...

Em uma P.G. infinita de termo geral

$a_n=a_1*q^{n-1}$

Prove que a soma de todos os seus termos é:

$S_n=\frac{a_1*(1-q^n)}{(1-q)}$

Answer 1

$S_{n} =a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n}$

Colocando todos os termos em função de a1 e q:

$S_{n} = a_{1} + a_{1}q + a_{1}q^{2} + ... + a_{1}q^{(n-1)}$

Multiplicando a equação por q, temos:

$q*S_{n}=q*[a_{1}+a_{1}q + a_{1}q^{2} + ... + a_{1}q^{(n-1)}]$
$q*S_{n} = a_{1}q + a_{1}q^{2} + ... + a_{1}q^{(n-1)} + a_{1}q^{n}$
________________________

$\left \{ {{S_{n} = a_{1} + a_{1}q + a_{1}q^{2} + ... + a_{1}q^{(n-1)} \atop {q*S_{n} = a_{1}q + a_{1}q^{2} + ... + a_{1}q^{(n-1)} + a_{1}q^{n}}} \right.$

Subtraindo uma pela outra:

$S_{n} - q*S_{n} = a_{1} - a_{1}q^{n}$

Colocando os termos semelhantes em evidência:

$S_{n}(1 - q) = a_{1}(1 - q^{n})$
$S_{n}=a_{1}(1 - q^{n}) / (1 - q)$