Question

Questão de cálculo de integral dupla
Darei 5 estrelas e marcarei como melhor resposta quem responder corretamente

Answer 1

Temos a seguinte questão:

$\sf \int\limits_{}^{} \int\limits_{R}xy \: dy dx, \: y = x \: e \: y = x {}^{2}$

A questão nos poupa de ter que observar qual o tipo de região que é, se é do tipo 1 ou 2, pois na própria integral ela já indica a ordem das diferenciais, ou seja, dydx, isto é, a região é do tipo 1, onde o x é um ponto fixo e y são funções que limitam essa região.

$\sf\int\limits_{a}^{b} \int\limits_{f_2(x)}^{f_1(x) } f(x,y) \: dy dx \: \to \sf \: tipo \: 1\\ \sf\int\limits_{ f_2(x)}^{ f_1(x) } \int\limits_{a}^{b} f(x,y) \: dxdy \: \to \: tipo \: 2$

O intervalo de variação que x que é fixo, é dado pela interseção dessas funções y:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf y = x {}^{2} \: \: e \: \: y = x \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf x = x {}^{2} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf x.(x - 1) = 0 \\ \: \: \: \: \: \: \: \sf x = 0 \: \: e \: \: x = 1$

Portanto essa é a variação de "x". Agora vamos substituir as informações na integral:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{x}^{x {}^{2} } xy\: dy dx$

Agora é só resolver normalmente:

$\sf\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{x}^{x {}^{2} } xy\: dy dx \: \to\: \: \sf\int\limits_{0}^{1} \left[ x. \frac{y {}^{2} }{2}\bigg|_{x}^{x {}^{2} } \right ]dx \\ \\ \sf\int\limits_{0}^{1} \left[ x. \frac{(x {}^{} ) {}^{2} }{2} - x. \frac{(x {}^{2} ) {}^{2} }{2} \right ]dx \: \to \: \: \sf\int\limits_{0}^{1} \left[ \frac{x {}^{3} }{2} - \frac{x{}^{5} }{2} \right ]dx \\ \\ \sf \left[ \left( \frac{1}{2} . \frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} - \frac{1}{2} . \frac{x {}^{5 + 1} }{5 +1} \right) \bigg | _{0}^{1} \right] \: \to \: \left( \frac{x {}^{ 4} }{8} - \frac{x {}^{6} }{12} \right) \bigg | _{0}^{1} \\ \\ \sf \frac{1 {}^{4} }{8} - \frac{1 {}^{6} }{12} \: \to \: \: \frac{12 - 8}{96} \: \: \to \: \: \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf \frac{1}{24} }}}$

Espero ter ajudado