Question

Questão de calculo 1 derivadas

Answer 1

Trata-se de uma derivada pela definição, ou seja, via limites.

Temos a função :

$\displaystyle f(x) = x^3 - \frac{MAT}{25}.x^2 -7x$

Vamos derivar via limites :

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x) }{h}$

substituindo :

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\displaystyle (x+h)^3 - \frac{MAT}{25}.(x+h)^2- 7(x+h) - [x^3-\frac{MAT}{25}x^2-7x] }{h}$

Vamos fazer os produtos notáveis aqui e dps só substituir:

$(x+h)^3 = x^3+3.x^2.h+3.x.h^2 + h^3$

$\displaystyle \frac{MAT}{25}.(x+h)^2 = \frac{MAT}{25}.(x^2+2.x.h+.h^2)$

Agr vamos substituir no limite e tentar isolar o h.

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\displaystyle x^3+3.x^2.h+3xh^2+h^3 - \frac{MAT}{25}.(x^2+2.xh+h^2)-7x-7h- x^3+\frac{MAT}{25}x^2+7x }{h}$$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\displaystyle 3.x^2.h+3xh^2+h^3 - \frac{MAT}{25}.x^2-\frac{MAT}{25}(2.xh+h^2)-7h+\frac{MAT}{25}x^2 }{h}$

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\displaystyle 3.x^2.h+3xh^2+h^3 -\frac{MAT}{25}.2.xh-\frac{MAT}{25}h^2 -7h }{h}$

Agora vamos colocar o h em evidência :

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\displaystyle h(3.x^2+3xh+h^2 -\frac{MAT}{25}.2.x-\frac{MAT}{25}h-7) }{h}$

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \displaystyle 3.x^2+3xh+h^2 -\frac{MAT}{25}.2.x-\frac{MAT}{25}h -7$

Agora vamos aplicar $h \to 0$

$\displaystyle f'(x) = \displaystyle 3.x^2+3x.0+0^2 -\frac{MAT}{25}.2.x-\frac{MAT}{25}.0 -7$

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \displaystyle 3.x^2 -\frac{MAT}{25}.2.x - 7 }$