Question

QUESTAO 32.................

Answer 1

Vamos lá.

Antes veja que se você tem um complexo da forma:

z = a + bi , o seu conjugado será "z barra", que é dado por:
_
z = a - bi


Bem, sabendo-se disso, então vamos para a questão 32, que tem os seguintes complexos: 

z₁ = 6 - 2i
z₂ = 2 + i.

Agora veja: vamos logo ver quais são os "z barra" de cada um, ou seja, vamos logo ver quais são os conjugados dos complexos acima. Assim, teremos:
_
z₁ = 6 - (-2i) = 6 + 2i <--- este é o conjugado de "z₁"

e
_
z₂ = 2 - i <---- Este é o conjugado de "z₂".

Como já temos tudo de que necessitaremos para resolver a sua questão, então vamos lá.


a) z = z₁/z₂ ----- substituindo-se  "z₁" e "z₂" por suas representações, teremos:

z = (6-2i)/(2+i) ---- vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que vai ser "2-i" (é o "z₂ barra). Assim:

z = (6-2i)*(2-i) / (2+i)*(2-i) ---- efetuando os produtos indicados, teremos;

z = (12 - 10i + 2i²) / (4 - i²) ---- veja que i² = -1. Assim:
z = (12 - 10i + 2*(-1)) / (4 - (-1))
z = (12 - 10i - 2) / (4+1) --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
z = (10 - 10i) / 5 ---- dividindo-se cada fator por "5", teremos:
z = 10/5 - 10i/5 --- ou apenas:
z = 2 - 2i <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".


b) z = z₂/z₁ ---- substituindo-se "z₂" e "z₁" por suas representações, temos:

z = (2+i)/(6-2i) ----- agora vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que vai ser: "6+2i" (que é o "z₂ barra"). Assim:

z = (2+i)*(6+2i)/(6-2i)*(6+2i) --- efetuando os produtos indicados, teremos:

z = (12+10i+2i²) / (36-4i²) ---- como i² = -1, teremos:
z = (12 + 10i + 2*(-1)) / (36 - 4*(-1))
z = (12 + 10i - 2) / (36 + 4) ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
z = (10 + 10i) / 40 ---- dividindo cada fator por "40", ficaremos com:
z = 10/40 + 10i/40 ---- dividindo numerador e denominador por "10", ficaremos apenas com:

z = 1/4 + i/4 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

.........._.._
c) z = z₁/z₂ + z₁/z₂

Agora vamos fazer as devidas substituições, teremos:

z = (6+2i)/(2-i) + (6-2i)/(2+i)

Veja:
- em (6+2i)/(2-i), multiplicaremos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que vai ser (2+i);
e
- em (6-2i)/(2+i), substituiremos numerador e denominador pelo conjugado do denomin ador, que vai ser (2-i). Assim, ficaremos com:

z = (6+2i)*(2+i)/(2-i)*(2+i) + (6-2i)*(2-i)/(2+i)*(2-i) ---- efetuando os produtos indicados, teremos:

z = (12+10i+2i²)/(4-i²) + (12-10i+2i²)/(4-i²) ---- como i²= -1, temos:
z = (12+10i+2*(-1))/(4-(-1)) + (12-10i+2*(-1))/(4-(-1))
z = (12+10i-2)/(4+1) + (12-10i-2)/(4+1)
z = (10+10i)/5 + (10-10i)/5 ------ dividindo-se cada fator por 5, teremos:
z = 10/5 + 10i/5 + 10/5 - 10i/5 --- ou apenas:
z = 2 +2i + 2 - 2i ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
z = 4 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c) .

............_..._..._
d) z = (z₁+z₂)/z₂ ---- fazendo-se as devidas substituições, teremos:

z = (6+2i + 2-i)/(2-i) ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
z = (8+i)/(2-i) ------ multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que vai ser (2+i), ficaremos com:

z = (8+i)*(2+i)/(2-i)*(2+i) --- efetuando os produtos indicados, teremos:
z = (16+10i+i²)/(4-i²) ---- como i² = -1, teremos:
z = (16 + 10i + (-1) / (4 - (-1))
z = (16 + 10i - 1)/(4+1) --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
z = (15 + 10i)/5 --- dividindo-se cada fator por "5", teremos:
z = 15/5 + 10i/5 -- ou apenas:
z = 3 + 2i <---- Esta é a resposta para o item "d".


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.