Question

Quero saber a formula de como descobrir sen α e cos α utilizando tg α = 4/3

Answer 1

Se a tangente é positiva, então o arco $\alpha$ está no 1º ou no 3º quadrante.


Utilizaremos estas identidades trigonométricas:

$\begin{array}{rclc} 1+\mathrm{tg}^{2}\,\alpha&=&\sec^{2} \alpha&(i)\\ \\ \sec \alpha&=&\frac{1}{\cos \alpha}&(ii)\\ \\ \mathrm{tg\,}\alpha&=&\frac{\mathrm{sen\,}\alpha}{\cos \alpha}&(iii) \end{array}$


Da identidade $(i)$, temos

$1+\left(\frac{4}{3} \right )^{2}=\sec^{2} \alpha\\ \\ \sec^{2} \alpha=1+\frac{16}{9}\\ \\ \sec^{2} \alpha=\frac{9+16}{9}\\ \\ \sec^{2} \alpha=\frac{25}{9}$

Utilizando a identidade $(ii)$ na igualdade acima, temos

$\left(\frac{1}{\cos \alpha} \right )^{2}=\frac{25}{9}\\ \\ \frac{1}{\cos^{2} \alpha}=\frac{25}{9}\\ \\ \cos^{2} \alpha=\frac{9}{25}\\ \\ \cos \alpha=\pm \sqrt{\frac{9}{25}}\\ \\ \boxed{\cos \alpha=\pm \frac{3}{5}}$

Substituindo o valor encontrado acima na identidade $(iii)$, temos

$\frac{4}{3}=\frac{\mathrm{sen\,}\alpha}{\left(\pm \frac{3}{5} \right )}\\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha=\frac{4}{3} \cdot \left(\pm\frac{3}{5} \right )\\ \\ \boxed{\mathrm{sen\,}\alpha=\pm \frac{4}{5}}$


a) se $\alpha$ for do primeiro quadrante:

$\boxed{\mathrm{sen\,}\alpha= \frac{4}{5}}$ e $\boxed{\cos \alpha= \frac{3}{5}}$

b) se $\alpha$ for do terceiro quadrante:

$\boxed{\mathrm{sen\,}\alpha= -\frac{4}{5}}$ e $\boxed{\cos \alpha= -\frac{3}{5}}$