Question

Quem puder me ajudar, serei eternamente grata

Answer 1

Oi fofx, tudo bem com você? Espero que sim.

Vamos lembrar que caso a matriz P seja diagonalizável em uma matriz D, então existe uma outra matriz R que se relaciona com a sua diagonalizada da seguinte forma:

$\boxed{P^n= R^{-1}.D^n.R}$

Nesse caso, a matriz P (assuma estar na base canônica) é diagonalizável, pois é preciso que os autovetores formem uma base para o IR³ o que é fácil de se observar. Desse modo, caso queiramos encontrar P¹⁰¹ devemos encontrar:

1. A matriz R que diagonaliza P.
2. A matriz D diagonalizada.

A matriz que diagonaliza P é aquela formada pelos autovetores dispostos em coluna:

$R = \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\0&1&-1\end{array}\right]$

Então precisamos achar a inversa de R:

$R^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\0&1&0\\0&1&-1\end{array}\right]$

A matriz D nada mais é que aquela formada pelos autovalores (na ordem em que aparecem) na diagonal principal e por zeros nas outras entradas.

$D = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{array}\right]$

Agora basta aplicar a fórmula, onde n = 101.

$P^{101}= R^{-1}.D^{101}.R$

$P^{101} = \left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\0&1&0\\0&1&-1\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}1^{101}&0&0\\0&(-1)^{101}&0\\0&0&(-1)^{101}\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\0&1&0\\0&1&-1\end{array}\right]$

Fazendo esse produto de três matrizes, encontramos a nossa resposta:

$\boxed{\boxed{\boxed{\Huge{\mathsf{P^{101}}= \large{\mathsf{\left(\begin{matrix}1&-2&2\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1\end{matrix}\right)}}}}}}$