Question

Quão maior é a média aritmética entre 200 e 400, se comparada com a média entre os inteiros 50 e 100 (incluindo extremos)?

Answer 1

Olá.

 

Nessa questão podemos aplicar conceitos de progressão aritmética (P.A). A média simples pode ser calculada através da soma de todos os termos dividido pela quantidade destes.

 

Para calcular a soma de todos os termos, podemos usar a fórmula da Soma de Termos de uma P.A. Todavia, antes é necessário conhecer a quantidade de termos de cada P.A, que terão razão igual a 1 (já que aumentarão de 1 em 1). Para conhecer a quantidade de termos, usamos o termo geral da P.A. Apresento as fórmulas supracitadas abaixo:

 

$\mathsf{S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}}\\\\\\\mathsf{a_n=a_1+(n-1)r}$

 

O termo geral podemos adaptar para o nosso uso. Teremos:

 

$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)r\rightarrow a_1+n-1\rightarrow a_1-1+n}$

 

Vamos primeiro ao cálculo da média de todos os termos entre 200 e 400, incluindo os extremos.

 

Calculando a quantidade de termos:

 

$\mathsf{a_n=a_1-1+n}\\\\ \mathsf{400=200-1+n}\\\\ \mathsf{400=199+n}\\\\ \mathsf{400-199=n}\\\\ \mathsf{201=n}$

 

Agora, o cálculo da média. Usarei a seguinte fórmula:

 

$\mathsf{M=\dfrac{S_n}{n}}\\\\\\ \mathsf{M=\dfrac{\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}}{n}}$

 

Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{M_1=\dfrac{\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}}{n}}\\\\\\ \mathsf{M_1=\dfrac{\dfrac{201(200+400)}{2}}{201}}\\\\\\ \mathsf{M_1=\dfrac{\dfrac{201(600)}{2}}{201}}\\\\\\ \mathsf{M_1=\dfrac{\dfrac{120.600}{2}}{201}}\\\\\\ \mathsf{M_1=\dfrac{60.300}{201}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{M_1=300}}$

 

A primeira média é 300.

 

Agora, vamos direto ao cálculo da média entre os números entre 50 e 100, incluindo os inteiros.

 

$\mathsf{a_n=a_1-1+n}\\\\ \mathsf{100=50-1+n}\\\\ \mathsf{100=49+n}\\\\ \mathsf{100-49=n}\\\\ \mathsf{51=n}$

 

Calculando a soma, teremos:

 

$\mathsf{M_2=\dfrac{\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}}{n}}\\\\\\ \mathsf{M_2=\dfrac{\dfrac{51(50+100)}{2}}{51}}\\\\\\ \mathsf{M_2=\dfrac{\dfrac{51(150)}{2}}{51}}\\\\\\ \mathsf{M_2=\dfrac{\dfrac{7.650}{2}}{51}}\\\\\\ \mathsf{M_2=\dfrac{3.825}{51}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{M_2=75}}$

 

A segunda média é 75.

 

Podemos afirmar que a primeira médio é maior do que a segunda 4 vezes.

 

Para calcular “quantas vezes maior”, basta dividir o número maior pelo menor. Teremos:

 

300 / 75 = 4

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$