Question

Questão 1. Ondas gravitacionais foram previstas por Einstein em 1916 e diretamente detectadas pela primeira vez em 2015. Sob determinadas condições, um sistema girando com velocidade angular w irradia tais ondas com potência proporcional a GcβQγw δ , em que G é a constante de gravitação universal; c, a velocidade da luz e Q, uma grandeza que tem unidade em kg.m2 . Assinale a opção correta.

Answer 1

Vamos fazer a análise dimensional do problema.

Precisamos analisar as unidades de cada grandeza e determinar sua dimensão no sistema MLT (Massa - Comprimento - Tempo).

Potência (P)
A potência é medida em Watt, que por sua vez equivale a 1 Joule por segundo.
1 Joule tem unidade de kg m²/s².
Então a potência tem unidade de kg.m²/s² /s, ou seja kg.m²/s³.

Como kg é unidade massa, m é unidade de comprimento e s é unidade de tempo, temos que a dimensão da potência é:
$|P| = ML^2T^{-3}$

Constante gravitacional (G)
Pela lei da gravitação universal, temos que:
$F = G \dfrac{m_1m_2}{r^2}$

tem unidade de medida em Newton. Substituindo em unidades de medida:
$N = G \dfrac{kg*kg}{m^2} \\ \\ G = \dfrac{Nm^2}{kg^2}$

1 Newton equivale a 1 kg.m/s². Então G tem unidade:
$G = \dfrac{kg.m}{s^2}* \dfrac{m^2}{kg^2} = \dfrac{m^3}{kg.s^2}$

A dimensão de G é:
$|G| = M^{-1}L^3T^{-2}$

Velocidade da luz (C)
É dada em m/s e sua dimensão é:
$|C| = LT^{-1}$

Q tem unidade de kg.m², sua dimensão é:
$|Q| = ML^2$

Velocidade ângular (ω)
Tem dimensão de:
$| \omega | = T^{-1}$

Temos que a potência é dada por:
$P = Gc^{\beta}Q^{\gamma} \omega ^{\delta}$

Fazendo a análise dimensional, temos que descobrir quanto vale β, γ, δ.
$P = Gc^{\beta}Q^{\gamma} \omega ^{\delta} \\ \\ M^1 L^2 T^{-3} = M^{-1}L^3T^{-2} * L^{\beta}T^{- \beta}* M^{\gamma}L^{2 \gamma} * T^{- \delta} \\ \\ M^1 L^2 T^{-3} = M^{-1 + \gamma}L^{3+ \beta +2 \gamma}T^{-2- \beta - \delta}$

Igualando os expoentes:
$-1 + \gamma = 1 \\ 3+ \beta +2 \gamma = 2 \\ -2- \beta - \delta = -3$

Resolvendo o sistema encontramos:
$\boxed{\gamma = 2 ; \beta = -5 ; \delta = 6}$

Resposta: Letra A