Question

quantos são os números de dois algarismos que são iguais ao dobro do produto de seus algarismos

Answer 1

xy  = 2xy 
36 = 2 * ( 3 * 6 )  = 2 * 18 = 36

Answer 2

Só existe um número e este número é o $36.$ Vou mostrar por quê.


$\bullet\;\;$ Seja $x$ um número natural qualquer, formado por dois algarismos $a$ e $b,$ sendo

$a$ o algarismo das dezenas;

$b$ o algarismo das unidades.


Como o nosso sistema de numeração é decimal, segue que

$x=10a+b$


Queremos os números $x,$ cujo valor seja igual ao dobro do produto de seus algarismos. Então, devemos ter

$x=2ab\\ \\ 10a+b=2ab\\ \\ 2ab-10a-b=0\\ \\ (2b-10)\cdot a-b=0\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Como $a$ e $b$ são algarismos, só existem $10$ possibilidades de escolha:

$a,\,b\in \{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}$


Vamos atribuir os valores possíveis para o algarismo das unidades $b$ na equação $\mathbf{(i)}$ e verificar se encontramos um algarismo $a$ para as dezenas. Isto é, o $a$ encontrado deve pertencer ao conjunto dos $10$ algarismos possíveis:


Para $b=0:$

$-10a=0\\ \\ a=0\;\;\;\;\text{(n\~{a}o serve)}$

Neste caso, o número procurado seria $00,$ que na verdade não possui dois algarismos.


Para $b=1:$

$(2\cdot 1-10)\cdot a-1=0\\ \\ -8a=1\\ \\ a=-\frac{1}{8}\;\;\;\;\text{(n\~{a}o serve)}$

Neste caso, o valor de $a=-\frac{1}{8}$ não é algarismo.


Para $b=2:$

$(2\cdot 2-10)\cdot a-2=0\\ \\ -6a=2\\ \\ a=-\frac{2}{6}\\ \\ a=-\frac{1}{3}\;\;\;\;\text{(n\~{a}o serve)}$


Para $b=3:$

$(2\cdot 3-10)\cdot a-3=0\\ \\ -4a=3\\ \\ a=-\frac{3}{4}\;\;\;\;\text{(n\~{a}o serve)}$


Para $b=4:$

$(2\cdot 4-10)\cdot a-4=0\\ \\ -2a=4\\ \\ a=-\frac{4}{2}\\ \\ a=-2\;\;\;\;\text{(n\~{a}o serve)}$

Neste caso o valor de $a$ não é algarismo, pois apesar de ser um número inteiro, é um inteiro negativo.


Para $b=5:$

$(2\cdot 5-10)\cdot a-5=0\\ \\ 0a=5\\ \\ 0=5\;\;\;\;\text{(imposs\'{i}vel)}$


Para $b=6:$

$(2\cdot 6-10)\cdot a-6=0\\ \\ 2a=6\\ \\ a=\frac{6}{2}\\ \\ a=3\;\;\;\;\mathbf{(serve!)}$


Para $b=7:$

$(2\cdot 7-10)\cdot a-7=0\\ \\ 4a=7\\ \\ a=\frac{7}{4}\;\;\;\;\text{(n\~{a}o serve)}$


Para $b=8:$

$(2\cdot 8-10)\cdot a-8=0\\ \\ 6a=8\\ \\ a=\frac{8}{6}\\ \\ a=\frac{4}{3}\;\;\;\;\text{(n\~{a}o serve)}$


Para $b=9:$

$(2\cdot 9-10)\cdot a-9=0\\ \\ 8a=9\\ \\ a=\frac{9}{8}\;\;\;\;\text{(n\~{a}o serve)}$


$\bullet\;\;$ A única solução que se aplica às condições do problema é

$a=3\;\;\text{ e }\;\;b=6$


Portanto existe um único número natural $x$ que satisfaz as condições do problema:

$x=10\cdot 3+6\\ \\ x=30+6\\ \\ x=36$