Question

um projetil é lançado ao ar do topo de um rochedo situado a 200m acima de um vale. Sua velocidade é de 60m/s a um angulo de 60° acima da horizontal. em que ponto o projétil atinge o solo?

Answer 1

     Utilizando a Fórmula do Alcance, temos:

$A= \frac{v_o^2sin(2\theta)}{g} \\ A= \frac{3600sin(120)}{10} \\ A=360( \frac{ \sqrt{3} }{2} ) \\ A=180\sqrt{3}~m$
 
     O projétil foi lançado a partir de uma certa altura, portanto este continuará deslocando-se na horizontal enquanto estiver caindo depois do ponto de alcance máximo. O tempo da queda pode ser calculado pela Equação Horária do Espaço na direção vertical.

$S=S_{o}+v_{o}t+ \frac{at^2}{2} \\ 200=\underbrace {60sin(60^{\circ})}_{v_{y}}t+\frac{10t^2}{2} \\ 5t^2+30 \sqrt{3}t-200=0 \\ \\ \Delta =(30 \sqrt{3})^2-4\times 5\times (-200) \\ \Delta=6700 \\ \sqrt{\Delta}=10 \sqrt{67} \\ \\ t= \frac{-30 \sqrt{3} \pm 10 \sqrt{67} }{2\times 5} \\ t=(\sqrt{67}-3 \sqrt{3})~s$

     A velocidade na horizontal permanece constante (desconsiderando a resistência do ar), logo:

$v_x=v_ocos(\theta) \\ v_x=60( \frac{1}{2}) \\ v_x=30~m/s$
 
     Devido ao fato do movimento ser uniforme nessa direção, é válido usar a Equação Horária do M.U.

$S=S_o+v_yt \\ \Delta S=30( \sqrt{67}-3 \sqrt{3})~m$
 
     O deslocamento total do projétil é dado por:

$d=A+\Delta S \\ d=180 \sqrt{3}+30( \sqrt{67}-3 \sqrt{3}) \\ \boxed {d=30(\sqrt{67}+3 \sqrt{3})~m}$

Answer 2

Resposta: 90 metros

Explicação:

1° passo: encontrar as componentes vetoriais da velocidade inicial:

Vox = Vo×cos(theta)

Vox = 60×cos(60°)

Vox = 60×0,5

Vox = 30 m/s

Voy = Vo×sen(theta)

Voy = 60×sen(60°)

Voy = 60×0,866

Voy = 52 m/s

2° passo: Note que a altura que a bola é lançada é yo = 200m, e que y = 0m é a altura no instante em que o projétil atinge o solo. Sendo a aceleração da gravidade igual a -g = -9,81 m/s², e substituindo esses valores na equação horária de deslocamento vertical:

y(t) = yo + Voy×t - (1/2)gt²

y(t) = 200 + 52t - 4,905t² = 0

Assim, temos uma equação do segundo grau completa que após resolvermos por Bhaskara encontramos as raízes:

t' = -3 (não serve, pois não existe tempo negativo)

t" = 13,6 (serve)

Logo o tempo que o projétil leva para atingir o solo é t = 13,6s.

3° passo: sendo a função horária do espaço em relação a x:

x(t) = xo + Vox×t +(1/2)at²

Note que xo = 0m e a aceleração é nula, portanto:

x(t) = Vox×t

Tome t = 13,6s:

x(13,6) = 30×13,6

x(13,6) = 408m que é o ponto que esse projétil atinge o solo!

Espero ter ajudado! ;)