Question

quantos pontos de inflexao essa função apresenta f(x)= x³-4x²+2x+1

Answer 1

derive duas vezes primeiramente:

y' = dy/dx

y' = d/dx(x³-4x²+2x+1)

y' = 3x²-8x+2
---------------------

Y'' = d²y/dx²

y'' = d/dx(3x²-8x+2)

y'' = 6x-8
----------------

Iguale azero:

y'' = 0

6x-8 =0

6x=8

x =8/6

x = 4/3

Apenas um ponto!

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos concluímos que a referida função polinomial do terceiro grau possui um ponto de inflexão que é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I = \bigg(\frac{4}{3},\,-\frac{29}{27}\bigg)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função polinomial:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 2x + 1\end{gathered}$

Sabemos que o ponto de inflexão de uma função é o ponto no qual ocorre a inversão no sentido de abertura da concavidade de seu gráfico, isto é, o sentido de abertura da concavidade deixa de estar orientado para cima e passa a ser orientado para baixo - ou vise-versa.

Para calcularmos o ponto de inflexão de uma função, devemos:

• Calcular a derivada primeira da função:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x) = 1\cdot3\cdot x^{3 - 1} - 4\cdot2\cdot x^{2 - 1} + 2\cdot1\cdot x^{1 - 1} + 0\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3x^{2} - 8x + 2\end{gathered}$

• Calcular a derivada segunda da função:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f''(x) = 3\cdot2\cdot x^{2 - 1} - 8\cdot1\cdot x^{1 - 1} + 0\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 6x - 8\end{gathered}$

• Determinar a abscissa do ponto de inflexão:

        A abscissa do ponto de inflexão será sempre o valor numérico de "x" quando a derivada segunda for igual a "0", ou seja:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f''(x) = 0\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 6x - 8 = 0\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 6x = 8\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \frac{8}{6}\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \frac{4}{3}\end{gathered}$

• Montar o ponto de inflexão:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} I = (x_{I},\,y_{I})\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (x,\,f(x))\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{4}{3},\,\bigg(\frac{4}{3}\bigg)^{3} - 4\cdot\bigg(\frac{4}{3}\bigg)^{2} + 2\cdot\frac{4}{3} + 1\bigg)\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \bigg(\frac{4}{3},\,\frac{4^{3}}{3^{3}} - 4\cdot\frac{4^{2}}{3^{2}} + 2\cdot\frac{4}{3} + 1\bigg)\end{gathered} }$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{4}{3},\,\frac{64}{27} - 4\cdot\frac{16}{9} + \frac{8}{3} + 1\bigg)\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{4}{3},\,\frac{64}{27} - \frac{64}{9} + \frac{8}{3} + 1\bigg)\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{4}{3},\,\frac{64 - 192 + 72 + 27}{27}\bigg)\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{4}{3},\,-\frac{29}{27}\bigg)\end{gathered}$

✅Portanto, o ponto de inflexão da função é:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} I = \bigg(\frac{4}{3},\,-\frac{29}{27}\bigg)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$