Question

Quantos números de 5 algarismos distintos podem-se formar com os algarismos 0, 2, 4, 5, 6, 8 e 9 que são divisíveis por 5?

Answer 1

Se são divisíveis por 5, só podem acabar em 5 ou em zero. E agora esse temos que dividir em dois casos porque quando acaba em zero, o número de possibilidades para o primeiro algarismo é distinto do que quando termina em 5.   * último igual a zero: Temos só uma escolha para o último algarismo (só pode ser zero). Como temos 7 algarismos para escolher e já colocamos o zero, temos 6 opções para o primeiro algarismo. Para o segundo, como já colocamos dois, temos só 5 opções e para o terceiro só temos 4 opções e para o segundo só temos 3 opções: 6 5 4 3 1   E a quantidade desses números é: = 6.5.4.3.1 = 360   * último igual a 5: Temos só uma opção para o último algarismo (só pode ser cinco). Como temos 7 algarismos para escolher e já colocamos o cinco e não podemos colocar o zero como primeiro algarismo, temos 5 opções para o primeiro algarismo. Para o segundo, como já colocamos dois, temos só 5 opções e para o terceiro só temos 4 opções e para o segundo só temos 3 opções: 5 5 4 3 1   E a quantidade desses números é: = 5.5.4.3.1 = 300   Somando os dois casos: = 360 + 300=660

Answer 2

Se são divisíveis por 5, só podem terminar em 5 ou em 0.
Vamos dividir em dois casos, pois quando termina em 0, o número de possibilidades para o primeiro algarismo é diferente de quando termina em 5.

Irei representar cada algarismo por esses sublinhados

1) Terminando em 0:

- como são 7 números, para ser um número de 5 algarismos não poderemos colocar o zero como primeiro algarismo, então nos restam 6 números.
- Para o segundos algarismo nos restam 5 números, para o terceiro 4, para o quarto 3 e para o quinto somente 1 (o número zero) 

Usando a análise combinatória, multiplicaremos as possibilidades de cada algarismo:

6 x 5 x 4 x 3 x 1 = 360

2) Terminando em 5: 

- Para o primeiro algarismo não podemos usar nem o 5 e nem o zero, restando assim 5 números.
- Para o segundo algarismo podemos utilizar o zero juntamente com os outros números que restaram, sobrando assim mais 5 números.
- Para o terceiro algarismo restam 4 números, para o quarto 3 e para o quinto somente 1 (o número 5).

5 x 5 x 4 x 3 x 1 = 300

Somando as duas possibilidades:

360 + 300 = 660

Ou seja, podemos formar 660 números de 5 algarismos distintos.

Espero ter ajudado =)