Question

Quanto vale a distância entre as retas paralelas y=x-2 e y=x+1 ?

Answer 1

Para determinar uma distância entre duas retas é necessário medir a distância de dois pontos de cada reta em que sejam perpendiculares entre si.

f: y=x-2
g: y=x+1

Veja que para as retas f e g serem paralelas então o seu coeficiente angular tem que ser o mesmo o que percebemos ser verdade pois o coeficiente angular das retas f e g valem (1).

Vamos procurar uma reta h que cruza perpendicularmente as duas retas f e g para que com isso encontrarmos os pontos de intersecção. A medida entre esses pontos é a distância entre essas retas.

Primeiro: a reta h tem que ter um coeficiente angular tal que o produto entre o coeficiente angular da reta f ou g com o coeficiente angular da reta h resulte (-1). Equacionando isso fica:
m x m' = -1

Segundo: vamos escrever a equação da reta h com esse coeficiente:
1 x m' = -1
m' = -1

Então:
h: y=-1x

Agora que temos a equação da reta perpendicular vamos encontrar os pontos em que ela cruza as duas retas.

(Reta f)
f = h
x-2 = -1x
x - 2 + x = 0
2x -2 = 0
2x = 2
x = 1

Substituindo na equação fica
y = x-2
y = 1-2
y = -1

P1 = (1,-1)

(Reta g)
g = h
x+1 = -1x
x + 1 + x = 0
2x + 1 = 0
2x = -1
x = -1/2

Substituindo na equação fica
y = x + 1
y = -1/2 + 1
y = 1/2

P2 = (-1/2,1/2)

A distância entre P1 e P2 é o que queremos. Vamos calcular.
distância = √((x-x')² + (y-y')²)
distância = √((-0.5 - 1)²+(0.5 - (-1))²)
distância = √((2.25)+(2.25))
distância = (3√2)/2
distância ≈ 2.12