Question

Quando você divide o polinômio x elevado a 3 + 6x elevado a 2 - x - 6 por x + 1, você tem uma divisão exata e um quociente Q(x). Quais são os valores reaia de x que tornam o polinômio Q(x) igual a 0?

Answer 1

P(x) = x³ + 6x² - x - 6
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Número que anula x+1 = -1
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-1  |  1        6      -1      -6
     |  1       5        -6     0  



Q(x)= x² + 5x - 6
R(x) = 0

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Q(x) = x² + 5 x - 6 = 0

-b +- √b²-4ac / 2a

-5 +- √25 - (-24)  / 2a

-5 +- √49  / 2

- 5 +- 7 /2

x' = - 5 - 7 / 2
   =  -12/2
x' = -6

x'' = -5 +7 / 2
   = 2 /2
x'' = 1

Answer 2

P(x) = x³ + 6x² - x - 6 
A(x) = x + 1
Q(x) → quociente 
R(x) → resto = 0 

Se o a divisão de P(x) por A(x) é exata então o R(x) = 0. Ainda, P(x) é divisível por  A(x) = ( x + 1) = (x - (-1)), pelo Teorema de D'Alembert x = -1 é raiz desse polinômio P(x). P(x) / A(x) = Q(x) + 0

Pelo dispositivo de Biot-Ruffini fica:    

P(x) = x³ + 6x² - x - 6 , x = -1 raiz

-1 |      1                6              -1           - 6 
           1        1(-1) + 6       5(-1) -1 ||   -6(-1) -6
           1             = 5           = - 6   ||       0

▲ Q(x) = x² + 5x - 6 

P(x) = x³ + 6x² - x - 6 = (x +1) (x² + 5x - 6 ) 

P(x) = 0 ↔ (x +1) (x² + 5x - 6 ) = 0 

Pela propriedade do produto nulo fica:

P(x) = 0 ↔ (x +1) = 0   ou  (x² + 5x - 6 ) = 0 

x + 1 = ↔ x = -1 ( já sabido anteriormente)

x² + 5x - 6 = 0 → resolvendo por Baskara fica
▲ = 49 ; x' = (-5 +7) / 2 = 1   e x" = (-5 -7) / 2 = -6 

Valores que anulam P(x) = x³ + 6x² - x - 6 
x = -1 → P(-1) = 0 (Por D'Alembert) 
x = 1 → P(1) =  1³ + 6(1)² -1 - 6 = 0
x = -6 → P(-6)= (-6)³ + 6(-6)² -(-6) - 6 = 0

S = { -6, -1, 1}

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Obrigado pela oportunidade 
Boa sorte, bons estudos!
SSRC - 2015 
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