Question

Quando não podemos evidenciar a relação existente entre x e y, determinamos y implicitamente como uma função derivável em x, ou seja, utilizamos a concepção de derivada implícita. Considerando uma curva definida por 3 x y plus psen left parenthesis y right parenthesis minus pcos open parentheses x close parentheses equals 0 Assinale a alternativa que apresente a correta relação para fraction numerator d y over denominator d x end fraction

Answer 1

Com a definição de derivação implícita, temos como resposta:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-\pi \sin \left(x\right)-3y}{3x+\cos \left(y\right)}$

Derivada implícita

Uma função implícita é uma função escrita com variáveis ​​dependentes e independentes, como y-3x²+2x+5 = 0. No entanto, uma função explícita é uma função que é representada como uma variável independente. Por exemplo, y = 3x+1 é explícito, onde y é a variável dependente e depende da variável independente x.

Com a diferenciação, a função implícita pode ser facilmente diferenciada sem reorganizar a função e diferenciar cada termo. Como y é uma função de x, usamos a regra da cadeia e a regra de multiplicação e divisão. Se a variável dependente de uma função não for isolada explicitamente em ambos os lados da equação, a função se torna uma função implícita. Isso é muito fácil de resolver se as equações forem da forma y = f(x).

Quando uma função é expressa dessa maneira, ela representa uma função explícita. Mas é possível expressar y indiretamente em termos de f(x). Neste caso, usamos o conceito de diferenciação implícita de uma função. O círculo unitário pode ser definido implicitamente como o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem a equação x²+ y²=1.

Não é necessário encontrar a fórmula de uma função implícita para encontrar sua derivada. De fato, às vezes não é fácil obter a fórmula para uma função indireta sem executar alguma função específica no processo: Por exemplo, vamos examinar novamente a relação cos y = x. Podemos encontrar a derivada de funções implícitas desta relação onde a derivada existe por um método chamado diferenciação implícita. A ideia por trás da diferenciação implícita é pensar em y como uma função de x. Para provar isso, reescrevemos a relação  acima substituindo y por y(x), ou seja, cos(y(x)) = x.

Agora separamos ambos os lados desta equação e igualamos suas derivadas. Como não conhecemos a fórmula para y(x), deixamos como uma derivada de y'(x):  -sin(y(x)) · y'(x) = 1. Finalmente, resolvemos para y'(x) para obter a fórmula necessária: y'(x) = -1 /sin(y(x)) = -1/sen y.

$3xy+\pi \sin \left(y\right)-\pi \cos \left(x\right)=0$

$\mathrm{Tratar\:}y\mathrm{\:como\:}y\left(x\right)$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-\pi \sin \left(x\right)-3y}{3x+\cos \left(y\right)}$

$\mathrm{Derivada\:implicita\:}\frac{dy}{dx}\mathrm{\:de\:}3xy+\pi \sin \left(y\right)-\pi \cos \left(x\right)=0:\quad \dfrac{-\pi \sin \left(x\right)-3y}{3x+\cos \left(y\right)}$

Saiba mais sobre derivação implícita:https://brainly.com.br/tarefa/23768212

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