Question

Qual o valor da integral ?

$\bf{\mathsf{\int \dfrac{{\tan}^{3}3x}{\sqrt{\sec(3x)}}dx}}$

Answer 1

$\bf{\mathsf{\int \dfrac{{\tan}^{3}3x}{\sqrt{\sec(3x)}}dx}}$

$\bf{\mathsf{\int \dfrac{{\tan}^{2}3x. \sec 3x \tan 3x }{ \sec 3x\sqrt{\sec(3x)}}dx}}$

$\bf{\mathsf{\int \dfrac{({\sec}^{2}3x - 1). \sec 3x \tan 3x }{ \sec 3x\sqrt{\sec(3x)}}dx}}$

$u=\sec(3x) \rightarrow\,] \dfrac{1}{3}du=\sec(3x).\tan(3x)dx$

$\bf{\mathsf{ \frac{1}{3} \int \dfrac{({u}^{2} - 1)}{ u\sqrt{u}}du}} \\ \bf{\mathsf{ \frac{1}{3} \int ( {u}^{2} - 1) {u}^{ - \frac{3}{2} } }}du$

$\bf{\mathsf{ \frac{1}{3} \int ( {u}^{ \frac{1}{2} } - {u}^{ - \frac{3}{2} } )}}du \\ = \frac{1}{3}. \frac{2}{3} {u}^{ \frac{3}{2} } - \frac{1}{3}.( - 2) {u}^{ - \frac{1}{2} } + c \\ \frac{2}{9} { \sec }^{ \frac{3}{2} }3x + \frac{2}{3} { \sec}^{ - \frac{1}{2} } \: 3x + c$

$\boxed{ \boxed{\bf{\mathsf{\int \dfrac{{\tan}^{3}3x}{\sqrt{\sec(3x)}}dx}}}}\\ = \boxed{ \boxed{\mathsf{\frac{2}{9} { \sec }^{ \frac{3}{2} }3x + \frac{2}{3} { \sec}^{ - \frac{1}{2} } \: 3x + c}}}$