Question

Qual o perimetro do triangulo equilatero inscrito em um circulo circunscrito a um quadrado de 2 raiz de 6 m de lado?

Answer 1

Para resolver esta questão, vamos analisar os dados do enunciado de trás para frente:

Temos um quadrado cujo lado mede 2√6m.

Este quadrado apresenta um círculo circunstrito a ele, ou seja, a diagonal do quadrado é o diâmetro da circunferência.

Portanto, a diagonal do quadrado pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras:

d² = l² + l²
d² = (2√6)² + (2√6)²
d² = 2*(2√6)²
d² = 2 * 4* 6
d² = 48
d = √48
d= √2*2*2*2*3
d= 4√3m

O raio da circunferência é d/2, e assim obtemos o raio da circunferência:

d/2 = 4√3/2 = 2√3

O triangulo equilatero inscrito em um circulo de raio 2√3. A distância entre o centro do triângulo equilátero e um dos vértices é o raio da circunferência. Chamamos de h a altura do triângulo retângulo cuja hipotenusa é o raio.

Assim, o triângulo equilátero inscrito na circunferência apresenta as seguintes relações trigonométricas:

h = r/3 e l= r√3

Desta forma, sabendo que r =2√3:

l = 2√3*√3
l =2*(√3)²
l = 2*3
l = 6m

Portanto o perímetro pode ser dado pela soma dos três lados do triângulo:

Perímetro = 6 + 6 + 6 = 18m