qual o nonagésimo termo da pa (3,8,13,18,...)?
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação:
Encontrar a razão da PA:
r = a2 - a1
r = 8 - 3
r = 5
an = a1 + ( n -1 ) . r
a90 = 3 + ( 90 -1 ) . 5
a90 = 3 + 89 . 5
a90 = 3 + 445
a90 = 448
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (3, 8, 13, 18,...), tem-se que:
a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 5 unidades (por exemplo, 8=3+5 e 13=8+5). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).
b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 3
d)nonagésimo ou 90º termo (a₉₀): ?
e)número de termos (n): 90
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 90ª), equivalente ao número de termos.
f)Embora não se saiba o valor do nonagésimo termo, pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastando-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, porque o quarto termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 8 - 3 ⇒
r = 5 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o nonagésimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₉₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₉₀ = 3 + (90 - 1) . (5) ⇒
a₉₀ = 3 + (89) . (5) ⇒
a₉₀ = 3 + 445 ⇒
a₉₀ = 448
RESPOSTA: O nonagésimo termo da P.A. (3, 8, 13, 18, ...) é 448.
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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₉₀ = 448 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o nonagésimo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₉₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
448 = a₁ + (90 - 1) . (5) ⇒
448 = a₁ + (89) . (5) ⇒
448 = a₁ + 445 ⇒
448 - 445 = a₁ ⇒
3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 3 (Provado que o 90º termo é 448.)
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