Question

Qual o conjunto solução da equação (imagem anexada)

a) {1/2,1}
b) {3,9}
c) {1/7,2/7}
d) {0,1}
e) {-1,1}

Answer 1

Seja

$\displaystyle\sum _{n=0}^{\infty } xr^{n}$

uma série geométrica ( PG Infinita), cujo termo inicial é x e a razão é r.

Desde que -1 < r < 1, a soma dos termos é

$\huge\boxed{\sum _{n=0}^{\infty } xr^{n} =\frac{x}{1-r}}$

Reescrevendo a equação dada,

$x^{2} -x-\frac{x}{3} -\frac{x}{9} -\frac{x}{27} -...=-\frac{1}{2} \\ \\ \Leftrightarrow x^{2} -1\left( x+\frac{x}{3} +\frac{x}{9} +\frac{x}{27} +...\right) =-\frac{1}{2}$

O que tá dentro dos parênteses é uma Série geométrica (Ensino Superior) ou PG infinita, cujo primeiro termo é x e a razão e ⅓. Como -1 < ⅓ < 1, a soma dos termos é

$\frac{x}{1-r} =\frac{x}{1-\frac{1}{3}} =\frac{3x}{2}$

Então a equação fica,

$x^{2} -1\left( x+\frac{x}{3} +\frac{x}{9} +\frac{x}{27} +...\right) =-\frac{1}{2} \\ \\ \Leftrightarrow x^{2} -1\left(\frac{3x}{2}\right) =-\frac{1}{2} \\ \\ \Leftrightarrow x^{2} -\frac{3x}{2} +\frac{1}{2} =0 \\ \\ \Leftrightarrow 2x^{2} - 3x+1=0$

Agora,

$\Delta =b^{2} -4ac=( -3)^{2} -4\cdotp 2\cdotp 1=1 \\ \\ x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a} =\frac{3\pm 1}{2\cdotp 2} \Longrightarrow x=\frac{1}{2} \lor x=1$

Portanto, o conjunto solução é

$\boxed{\boxed{S=\left\{x\in \mathbb{R} \ |\ x=\frac{1}{2} \lor x=1\right\}}}$

Resposta => A