Question

Qual é o valor médio de 1/x no intervalo [4, 8]?

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, conseguimos chegar a conclusão de que o valor médio desta função no intervalo dado é igual a $\boxed{\bf\frac{\ln(2)}{4}}$.

Explicação

Temos a seguinte função $\bf f(x)=\frac{1}{x}$, definida no intervalo de $\bf [4,\:8]$. A questão quer saber qual o valor médio dela.

Para o cálculo do valor médio de uma função, vamos usar o Teorema do Valor Médio (TVM) para integrais, onde ele nos diz que:

• Se$\bf f$for contínua em $\bf[a,b]$, então existe um número $\bf c$ em $\bf[a,b]$, tal que:

$\:\:\:\: \boxed{f(c) = f_{med} =\frac{1}{b-a } \cdot\int_{a}^{b} f(x) dx }$

• Onde a e b são representados pelo intervalo em análise do valor médio.

Como pode ser observado, devemos calcular a integral da função em [a,b], portanto vamos iniciar fazendo estes cálculo.

$\int_{a}^{b} f(x) dx\: \: \to \: \: \int_{4}^{8} \frac{1}{x}dx \: \: \to \: \: \ln( |x| ) \bigg | _{4}^{8}$

• Observação: Não colocaremos a constante de integração ao final, pelo simples motivo de ser uma integrais definida, isto é, quando aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, a constante será cancelada.

Falando em Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), vamos aplicá-lo no resultado obtido.

$\: \: \: \ln( |x| ) \bigg | _{4}^{8} \: \to \: \ln( |8| ) - \ln( |4| )\:\to\:\boxed{\bf\ln(2)}$

Substituindo este resultado na fórmula do TVM e finalizando a questão:

$f_{med} =\frac{1}{8-4}. \ln(2) \: \to \: \boxed{\bf f_{med} = \frac{ \ln(2)}{4}}$

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Espero ter ajudado

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