Question

Esboce a região delimitada pelos gráficos das funções f(x) = x^3, g(x) = 9x, pelas retas x = 0 e x = 3. Calcule a área desta região, utilizando Somas de Riemann.

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, podemos afirmar com certeza de que a área entre estas funções através da Soma de Riemann é igual a $\boxed{\bf A = \frac{81}{4}\:u.a}$

Explicação

Temos as seguintes funções:

$\: \: \: \: \: \: \: f(x) = x {}^{3} \: \: e \: \: g(x) = 9x$

De acordo com o enunciado devemos calcular a área entre estas funções citadas acima através da Soma de Riemann.

• Soma da Riemann:

A Soma de Riemann é um método de aproximação que utiliza a área de retângulos para determinar a área abaixo de uma função em um dado intervalo. A expressão característica da expressão de Riemann é dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{ A = \lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right)\Delta x }$

• Onde: $\bf\Delta x= \frac{b-a}{n}$ e $\bf x_i = a + i\Delta x$. Vale ressaltar que termos a e b são dados pelo intervalo a qual a área está sendo integrada.

A relação da função F(x) a qual estamos integrando é basicamente dada pela função que se encontra na parte superior subtraída da inferior. Plotando um gráfico com estas duas funções, podemos ver que g(x) é superior e f(x) inferior. Então ficamos com a função sendo $\bf F(x) = 9x-x^2$.

Para facilitar a substituição, vamos montar calcular o valor de delta e xi, então:

$\Delta x = \frac{b - a}{n} \: \to \: \: \Delta x = \frac{3 - 0}{n} \: \to \: \bf\Delta x = \frac{3}{n} \\ \\ x_{i} = a + i\Delta x \: \to \: \: x_{i} = 0 + \frac{3i}{n} \: \to \: \bf x_{i} = \frac{3i}{n}$

Tendo determinado todos os dados, vamos substituí-los na relação de Riemann.

$A = \lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}f \left( \frac{3i}{n} \right). \frac{3}{n} \\ \\ A = \lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n} \left [ 9. \left( \frac{3i }{n} \right) - \left( \frac{3i }{n} \right) ^{3}\right] . \frac{3}{n} \\ \\A = \lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n} \frac{81}{n {}^{2} } . \left[ i - i {}^{3} \right]$

Neste último somatório, podemos utilizar a propriedade da constante que nos permite fazer com que ela transite livremente dentro dele, assim como nos limites, derivadas.

$\boxed{1) \: \: \sum_{i=1}^{n} kf(i) \: \to \: =k \sum_{i=1}^{n} f(i) }$

Como a variável neste caso é (i), podemos remover a fração que depende apenas da constante numérica e da constante n.

$A = \lim_{n\to \infty} \frac{81}{n {}^{2} } \sum_{i=1}^{n} \left[ i - i {}^{3} \right]$

Outra propriedade que podemos utilizar é que o somatório da soma é igual a soma dos somatórios. Matematicamente:

$\boxed{2) \: \sum_{i=1}^{n} f(i) \pm g(i) =\sum_{i=1}^{n} f(i) \pm \sum_{i=1}^{n} g(i)}$

Aplicando a propriedade nos termos em (i):

$A = \lim_{n\to \infty} \frac{81}{n {}^{2} } \cdot \left[ \sum_{i=1}^{n} i -\sum_{i=1}^{n} i {}^{3} \right]$

De acordo com tabelas encontrada nos livros, temos que estes somatórios de potências de i possuem os seguintes resultados:

$\boxed{\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n + 1)}{2} \: \: \bigg | \: \: \sum_{i=1}^{n} i {}^{3} = \frac{n {}^{2} (n + 1) {}^{2} }{4} }$

Substituindo estes resultados:

$A = \lim_{n\to \infty} \frac{81}{n {}^{2} } \cdot \left[ \frac{n(n + 1)}{2} - \frac{n {}^{2}(n {}^{2} + 1) }{4} \right] \: \: \: \: \\ \\ A = \lim_{n\to \infty} \left[\frac{81}{n {}^{2} }. \frac{n(n + 1)}{2} - \frac{81}{n {}^{2} } .\frac{n {}^{2} (n {}^{2} + 1)}{4} \right ] \\ \\ A = \lim_{n\to \infty} \left[ \frac{81(n + 1)}{2n} - \frac{81(n {}^{2} + 1) }{4} \right] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ A = \lim_{n\to \infty} \left[ \frac{4.81(n + 1) - 2n.81(n {}^{2} + 1) }{8n} \right] \\ \\ A = \lim_{n\to \infty} \left[ \frac{324n + 324 - 162n {}^{3} - 162n }{8n} \right] \\ \\ A = \lim_{n\to \infty} \left[ \frac{162n - 162n {}^{3} + 324 }{8n} \right ] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para solucionar este limite, basta dividir todos os termos pela variável de maior grau do denominador, que no caso deste limite é n. Então:

$A = \lim_{n\to \infty} \left[ \frac{ \frac{162n}{n} - \frac{162n {}^{3} }{n } + \frac{324}{n} }{ \frac{8n}{n} } \right ] \\ \\ A = \lim_{n\to \infty} \left[ \frac{162 - \frac{162}{n {}^{3} } + \frac{324}{n {}^{3} } }{8} \right ]$

Agora vamos lembrar do Teorema que nos diz que no limite de uma divisão de um número relativamente pequeno por uma potência, em que a variável do limite tende para infinito, o resultado é que ele vai para 0. Matematicamente temos $\lim_{x \to \pm \infty } \frac{1}{x {}^{n} } = 0$. Portanto:

$A = \lim_{n\to \infty} \left[ \frac{162 - 0 + 0}{8} \right ] \:\to\: A = \lim_{n\to \infty} \left[ \frac{162 }{8} \right ]$

O limite de uma constante é a própria constante, portanto o resultado é que a área é igual a:

$A = \lim_{n\to \infty} \left[ \frac{162 }{8} \right ] \: \: \to \: \: A = \frac{162}{8} \\ \\ \: \: \: \: \boxed{\bf A = \frac{81}{4} \: u.a}$

Espero ter ajudado

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