Question

qual é o valor de x em 3x = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27....

Answer 1

A equação é:

$\displaystyle 3x=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots$

Dividindo ambos os lados por 3,

$\displaystyle x=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\cdots$

Assim, vamos supor que a sua equação original era essa. Parece redundante mas, multiplicando ambos os lados por 3,

$\displaystyle 3x=1+\bf\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots}$

Podemos ver que os termos em negrito são o valor de $x$. Então, substituindo,

$\displaystyle 3x=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots=1+x\\3x=1+x\\2x=1\\\\x=\frac{1}{2}$

Portanto,

$\displaystyle x=\frac{1}{2}.$

Esse tipo de resolução, em que manipulamos a equação para que o valor da incógnita se repita para depois substituí-la, é muito comum.

Por exemplo, suponha que você queira determinar o valor da seguinte expressão:

$\displaystyle \sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\cdots}}}}}}}$

Então, seja

$\displaystyle x=\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\cdots}}}}}}}$

Aqui, claramente $x>0$.

Elevando ambos os lados ao quadrado,

$\displaystyle x^{2}=7\bf{\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\cdots}}}}}}}$

Entretanto, os termos em negrito são o valor de $x$. Então substituindo $x$:

$\displaystyle x^{2}=7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\cdots}}}}}}=7x\\x^{2}=7x\\x^2-7x=0\\x(x-7)=0$

$x=0$ ou $x=7$

Mas, uma vez que $x>0$, $x=7$.

Portanto,

$\displaystyle \sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\cdots}}}}}}}=7.$

Mais uma vez, resolvemos um exercício bem comum por este método.

Espero que desta vez você tenha realmente entendido.

Bons estudos, ma dear.