Question

Qual é o maior dentre os números 2015^5, 3016⁴, 4017³, 5018² e 6019¹?
qual o algarismo das unidades de 3^2015?

Answer 1

Resposta:

$\text{Leia abaixo}$

Explicação passo-a-passo:

a.

Vamos provar que um número menor que $2015^5$ de mesma potência é maior que um número maior que $3016^4$ de mesma potência.

$2000^5 > 4000^4$

$(2 \times 10^3)^5 > (4 \times 10^3)^4$

$2^5 \times 10^{15} > 4^4 \times 10^{12}$

$32 \times 10^{15} > 256 \times 10^{12}$

Vamos provar que um número menor que $3016^4$ de mesma potência é maior que um número maior que $4017^3$ de mesma potência.

$3000^4 > 5000^3$

$(3 \times 10^3)^4 > (5 \times 10^3)^3$

$3^4 \times 10^{12}) > 5^3 \times 10^9$

$81 \times 10^{12} > 125 \times 10^{9}$

Vamos provar que um número menor que $4017^3$ de mesma potência é maior que um número maior que $5018^2$ de mesma potência.

$4000^3 > 6000^2$

$(4 \times 10^3)^3 > (6 \times 10^3)^2$

$4^3 \times 10^{9}) > 6^2 \times 10^6$

$64 \times 10^{9} > 36 \times 10^{6}$

Vamos provar que um número menor que $5018^2$  de mesma potência é maior que um número maior que $6019^1$ de mesma potência.

$5000^2 > 7000^1$

$(5 \times 10^3)^2 > (7 \times 10^3)^1$

$5^2 \times 10^{6}) > 7^1 \times 10^3$

$25 \times 10^{6} > 7 \times 10^{3}$

$2015^5 > 3016^4 > 4017^3 > 5018^2 > 6019^1$

$\boxed{\boxed{2015^5}}$

b.

$3^0 = 1$

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243$

$3^6 = 729$

$3^7 = 2187$

Podemos constatar que existe um padrão cíclico para o algarismo das unidades, que depende do resto da divisão do expoente por 4.

Se o resto da divisão do expoente por 4 for 0, o algarismo das unidades é 1.

Se o resto da divisão do expoente por 4 for 1, o algarismo das unidades é 3.

Se o resto da divisão do expoente por 4 for 2, o algarismo das unidades é 9.

Se o resto da divisão do expoente por 4 for 3, o algarismo das unidades é 7.

2015 / 4 = 503 e restam 3, logo o algarismo das unidades é 7 !