Question

Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Justifique cada resposta.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \sqrt{x} .(x {}^{2} - 4x + 3)$

Para não ter trabalho de multiplicar todos por √x, vamos usar a regra do produto, já que temos duas função sendo multiplicadas. A regra é:

$(f(x).g(x))' = f'(x).g(x) + f(x).g'(x)$

Aplicando isso no nosso problema:

$f'(x) = (\sqrt{x} )'.(x {}^{2} - 4x + 3) + ( \sqrt{x} ).(x {}^{2} -4x + 3)'\\ \\ f'(x) = (x {}^{ \frac{1}{2} } )'.(x {}^{2} - 4x + 3) + ( \sqrt{x} ).(x {}^{2} - 4x + 3)'$

Nessas derivadas, vamos basicamente aplicar a regra da potência em todos os termos que estão sendo derivados:

$f' (x) = \frac{1}{2} x {}^{ \frac{1}{2} - 1} .(x {}^{2} - 4x + 3) + ( \sqrt{x} ).(2.x {}^{2 - 1} - 1.4.x {}^{1 - 1} + 0.3.x {}^{0 - 1} ) \\ \\ f'(x) = \frac{1}{2} x {}^{ - \frac{1}{2} } .(x {}^{2} - 4x + 3) + ( \sqrt{x} ).(2x - 4) \\ \\ f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x} } .(x {}^{2} - 4x + 3) + \sqrt{x} .2x - 4 \sqrt{x} \\ \\ f'(x) = \frac{x {}^{2} }{2 \sqrt{x} } - \frac{4x}{2 \sqrt{x} } +3 \sqrt{x } + 2x. \sqrt{x} - 4. \sqrt{x} \\ \\ f'(x) = \frac{x {}^{2} }{2.x {}^{ \frac{1}{2} } } - \frac{4x}{2.x {}^{ \frac{1}{2} } } + 3 \sqrt{x} + 2x.x {}^{ \frac{1}{2} } - 4 \sqrt{x} \\ \\ f'(x) = \frac{ x {}^{2 - \frac{1}{2} } }{2} - 2.x {}^{1 - \frac{1}{2} } + 3 \sqrt{x} + 2.x {}^{1 + \frac{1}{2} } - 4 \sqrt{x} \\ \\ \boxed{ f'(x) = \frac{x {}^{ \frac{3}{2} } }{2} - 2x {}^{ \frac{1}{2 } } - \sqrt{x} + 2x {}^{ \frac{3}{2} } }$

Agora vamos para o item b):

$b) f(x) = \frac{3}{x} + \frac{ \tan(x)}{x {}^{2} - 1}$

Derivando a função:

$f'(x) = (3.x {}^{ - 1} )' + \left( \frac{ \tan(x)}{x {}^{2} - 1} \right)' \\ \\ f'(x ) = - 1.3. {x}^{ - 1 - 1} + \frac{( \tan(x))'.(x {}^{2} - 1) - ( \tan(x)).(x {}^{2} - 1)'}{ (x {}^{2} - 1) ' } \\ \\ f'(x) = - 3.x {}^{ - 2} + \frac{ (\sec {}^{2} (x)).(x {}^{2} - 1) - ( \tan(x)).(2x) }{(x {}^{2} - 1) }$

Pode deixar desse jeito, não precisa desenvolver.

Ali eu usei a regra do quociente, dada por:

$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f '(x).g(x) - f(x).g '(x) }{(g(x)) {}^{2} }$

Espero ter ajudado