Question

qual é o limite para a função limf(x)=x²-x, quando x tende a mais infinito?

Answer 1

Calcular o limite

     $\lim\limits_{x\to +\infty}(x^2-x)$


Ao fazer $x\to +\infty,$ caímos em uma indeterminação do tipo "∞ − ∞".

Neste caso em questão, podemos colocar em evidência a potência de $x$ que aparece com maior expoente.


Então, o limite fica

     $\displaystyle=\lim_{x\to +\infty} x^2\cdot \left(\frac{x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}\right)\\\\\\ =\lim_{x\to +\infty} x^2\cdot \left(1-\frac{1}{x}\right)\\\\\\ =\lim_{x\to +\infty} g(x)\cdot h(x)$


onde   $\left\{\!\begin{array}{l}g(x)=x^2\\\\ h(x)=1-\dfrac{1}{x} \end{array}\right.$


Sabemos que

     •   $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)$

     $=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2\\\\ =+\infty\qquad\mathbf{(i)}$


     •   $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)$

     $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)\\\\\\ =1-0\\\\ =1\\\\ \textsf{e~~}1>0\qquad\mathbf{(ii)}$


Dessa forma, por $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)},$ concluímos que

     $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} g(x)\cdot h(x)\\\\ =\lim_{x\to +\infty} x^2\cdot \left(1-\frac{1}{x}\right)\\\\\\ =+\infty$


     $\therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\lim\limits_{x\to +\infty}(x^2-x)=+\infty \end{array}}$


Bons estudos! :-)