Question

qual é a soma das soluções abaixo:

Answer 1

Note que:

$3^{-x} = \dfrac{1}{3^{x}}$

Fazendo essa substituição, a equação ficará:

$3^{x+1} - 36 = -\dfrac{81}{3^{x}}$

Passando o $3^{x}$ que divide do lado direito para o lado esquerdo:

$3^{x} \cdot (3^{x+1} - 36) = -81$

Fazendo a multiplicação distributiva:

$3^{x+1} \cdot 3^{x} - 36 \cdot 3^{x} = -81$

Agora aplicando a propriedade:

$a^{b+c} = a^{b} \cdot a^{c}$

Chegamos a:

$3^1 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x}- 3 \cdot 12 \cdot 3^{x} = -3 \cdot 27$

Como 3 é comum a todos os termos dos dois lados da equação, ele irá desaparecer:

$3 \cdot (3^{x} \cdot 3^{x}- 12 \cdot 3^{x}) = -3 \cdot 27$

$3^{x} \cdot 3^{x}- 12 \cdot 3^{x} = \dfrac{-3 \cdot 27}{3}$

$3^{x} \cdot 3^{x}- 12 \cdot 3^{x} = -27$

ou:

$(3^{x})^2 - 12 \cdot 3^{x} +27=0$

Agora, o segredo para resolver esse exercício é fazer uma substituição:

$C = 3^x$

Isso fará com que a equação fique assim:

$C^2 - 12 \cdot C +27=0$

Agora, como essa é a forma de uma equação de 2° grau, podemos utilizar a equação de Bhaskara para resolvê-la, e depois voltamos para a variável inicial, x:

$C = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Com a = 1, b = -12 e c = 27:

$C = \dfrac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

$C = \dfrac{12 \pm \sqrt{144-108}}{2}$

$C = \dfrac{12 \pm \sqrt{36}}{2}$

$C = \dfrac{12 \pm 6}{2}$

As soluções serão:

$C_1 = \dfrac{12+6}{2}$

$C_1 = \dfrac{18}{2}$

$C_1 = 9$

e:

$C_2 = \dfrac{12-6}{2}$

$C_2 = \dfrac{6}{2}$

$C_2 = 3$

Agora que temos os valores de C, podemos voltar para x, lembra que:

$C = 3^x$

Então:

$9 = 3^{x_1}$

$3^2 = 3^{x_1}$

$\boxed{x_1 = 2}$

e:

$3 = 3^{x_2}$

$3^1 = 3^{x_2}$

$\boxed{x_2 = 1}$

A soma das soluções será:

$S = x_1 + x_2$

$S = 2 + 1$

$\boxed{S = 3}$

Answer 2

Resposta:

S = 2 + 1 = 3

Explicação passo-a-passo:

3ˣ⁺¹ - 36 = -81 . 3⁻ˣ

3ˣ⁺¹ = 3ˣ . 3

3⁻ˣ = 1/3ˣ

3 . 3ˣ - 36 = -81 . 1/3ˣ

Fazendo 3ˣ = y

3y - 36 = -81/y

Mult. por y

3y² - 36y = -81

3y² - 36y  + 81 = 0

Dividindo por 3

y² - 12y + 27 = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = (-12)² - 4.1.27

Δ = 144 - 108

D = Δ = 36

y = [(-(-12) - 4.1.27]/2

y = (144 -  108)/2

y = 36/2

y = 9

ou

y = ([-(-12)+6]/2

y = (12 - 6)/2

y = 6/6

y = 3

3ˣ = y

3ˣ = 9

3ˣ = 3²

x = 2

ou

3ˣ = 3

3ˣ = 3¹

x = 1

S = 2 + 1 = 3